Considere os seguintes subconjuntos de R^4 :
U=(x, y, z, w): x+y=0 e z-w=0 e V=(x, y, z, w): x-y-z+w=0
Verifique que U e V são subespaços vetoriais de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os conjuntos U e V são subespaços vetoriais de R^4 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o conjunto U = (x, y, z, w) : x + y = 0 e z - w = 0 . Para mostrar que U é um subespaço, vamos verificar os três critérios.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Substituindo x = 0 , y = 0 , z = 0 , e w = 0 nas equações de U :
0 + 0 = 0 e 0 - 0 = 0
Portanto, o vetor zero está em U .
2. Fechado para adição:
Se temos dois vetores u1 = (x1, y1, z1, w1) e u2 = (x2, y2, z2, w2) em U , então:
x1 + y1 = 0 e z1 - w1 = 0
x2 + y2 = 0 e z2 - w2 = 0
Somando os vetores:
(x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0
(z1 + z2) - (w1 + w2) = (z1 - w1) + (z2 - w2) = 0 + 0 = 0
Então, u1 + u2 também está em U .
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Se temos um vetor u = (x, y, z, w) em U e um escalar c , então:
c cdot x + c cdot y = c(x + y) = c cdot 0 = 0
c cdot z - c cdot w = c(z - w) = c cdot 0 = 0
Portanto, cu também está em U .

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto V = (x, y, z, w) : x - y - z + w = 0 . Vamos verificar os mesmos três critérios.
1. Contém o vetor zero:
Substituindo x = 0 , y = 0 , z = 0 , e w = 0 :
0 - 0 - 0 + 0 = 0
O vetor zero está em V .
2. Fechado para adição:
Se temos dois vetores v1 = (x1, y1, z1, w1) e v2 = (x2, y2, z2, w2) em V , então:
x1 - y1 - z1 + w1 = 0
x2 - y2 - z2 + w2 = 0
Somando os vetores:
(x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2) + (w1 + w2) = (x1 - y1 - z1 + w1) + (x2 - y2 - z2 + w2) = 0 + 0 = 0
Então, v1 + v2 está em V .
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Para um vetor v = (x, y, z, w) em V e um escalar c :
c cdot x - c cdot y - c cdot z + c cdot w = c(x - y - z + w) = c cdot 0 = 0
Logo, cv também está em V .

Resposta

Sim, tanto U quanto V são subespaços vetoriais de R^4 .

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