Considere os seguintes subconjuntos de
:
Verifique que
e
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os conjuntos
e
são subespaços vetoriais de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto
. Para mostrar que
é um subespaço, vamos verificar os três critérios.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Substituindo
,
,
, e
nas equações de
:
Portanto, o vetor zero está em
.
2. Fechado para adição:
Se temos dois vetores
e
em
, então:
Somando os vetores:
Então,
também está em
.
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Se temos um vetor
em
e um escalar
, então:
Portanto,
também está em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto
. Vamos verificar os mesmos três critérios.
1. Contém o vetor zero:
Substituindo
,
,
, e
:
O vetor zero está em
.
2. Fechado para adição:
Se temos dois vetores
e
em
, então:
Somando os vetores:
Então,
está em
.
3. Fechado para multiplicação por escalar:
Para um vetor
em
e um escalar
:
Logo,
também está em
.
Resposta
Sim, tanto
quanto
são subespaços vetoriais de
.