Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de
.
: grau de
é 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver isso juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Para isso, precisamos entender o que são subespaços vetoriais e quais condições devem ser atendidas para que
seja considerado um subespaço. Vamos precisar revisar alguns conceitos básicos de espaços vetoriais e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial
deve satisfazer três condições principais:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar no subespaço. - Fechamento sob adição: Se
e estão no subespaço, então também deve estar no subespaço. - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está no subespaço e é um número real, então também deve estar no subespaço.
Vamos verificar se o conjunto
atende a essas três condições.
Passo 3
Primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero no espaço dos polinômios
é o polinômio zero, que é simplesmente
. Agora, vamos ver se esse polinômio está em
.
No conjunto
, consideramos apenas polinômios de grau exatamente 2. O polinômio zero não tem grau definido (às vezes dizemos que tem grau -∞), então ele não está em
. Já vimos que o vector zero não está no conjunto, então
já não satisfaz a primeira condição para ser um subespaço vetorial.
Passo 4
Segunda condição: Fechamento sob adição
Mesmo que a primeira condição já não tenha sido atendida, vamos verificar a segunda para entender melhor.
Vamos supor que temos dois polinômios em
:
e
, ambos de grau 2. Ao somá-los, temos
.
Em geral, a soma de dois polinômios de grau 2 pode resultar em um polinômio de grau menor que 2 se os termos de maior grau se cancelarem. Por exemplo:
Somando:
O resultado é um polinômio constante, que tem grau 0. Isso mostra que a soma de dois polinômios de grau 2 pode não ser de grau 2, ou seja,
pode não estar em
.
Passo 5
Terceira condição: Fechamento sob multiplicação por escalar
Embora já tenhamos visto que as primeiras duas condições não são atendidas, vamos analisar a terceira para completar.
Pegamos um polinômio
de grau 2 em
e um escalar
real. A multiplicação
mantém o grau do polinômio, desde que
.
No entanto, se
, então
, que, como vimos, não está em
. Portanto, nem sempre
estará em
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.