Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de P(R).
U=p(t) in P(R) : grau de p(t) é 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver isso juntos! A questão pede para verificar se o conjunto U = p(t) in P(R) : grau de p(t) é 2 é é um subespaço vetorial de P(R) , que é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais. Para isso, precisamos entender o que são subespaços vetoriais e quais condições devem ser atendidas para que U seja considerado um subespaço. Vamos precisar revisar alguns conceitos básicos de espaços vetoriais e subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial V deve satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de V deve estar no subespaço.
  2. Fechamento sob adição: Se u e v estão no subespaço, então u + v também deve estar no subespaço.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se u está no subespaço e c é um número real, então c cdot u também deve estar no subespaço.
Vamos verificar se o conjunto U atende a essas três condições.

Passo 3

Primeira condição: Contém o vetor zero
O vetor zero no espaço dos polinômios P(R) é o polinômio zero, que é simplesmente p(t) = 0 . Agora, vamos ver se esse polinômio está em U .
No conjunto U , consideramos apenas polinômios de grau exatamente 2. O polinômio zero não tem grau definido (às vezes dizemos que tem grau -∞), então ele não está em U . Já vimos que o vector zero não está no conjunto, então U já não satisfaz a primeira condição para ser um subespaço vetorial.

Passo 4

Segunda condição: Fechamento sob adição
Mesmo que a primeira condição já não tenha sido atendida, vamos verificar a segunda para entender melhor.
Vamos supor que temos dois polinômios em U : p(t) e q(t) , ambos de grau 2. Ao somá-los, temos p(t) + q(t) .
Em geral, a soma de dois polinômios de grau 2 pode resultar em um polinômio de grau menor que 2 se os termos de maior grau se cancelarem. Por exemplo:
p(t) = t^2 + 1
q(t) = -t^2 + 2
Somando:
p(t) + q(t) = (t^2 - t^2) + (1 + 2) = 3
O resultado é um polinômio constante, que tem grau 0. Isso mostra que a soma de dois polinômios de grau 2 pode não ser de grau 2, ou seja, p(t) + q(t) pode não estar em U .

Passo 5

Terceira condição: Fechamento sob multiplicação por escalar
Embora já tenhamos visto que as primeiras duas condições não são atendidas, vamos analisar a terceira para completar.
Pegamos um polinômio p(t) de grau 2 em U e um escalar c real. A multiplicação c cdot p(t) mantém o grau do polinômio, desde que c neq 0 .
No entanto, se c = 0 , então c cdot p(t) = 0 , que, como vimos, não está em U . Portanto, nem sempre c cdot p(t) estará em U .

Resposta

O conjunto U não é um subespaço vetorial de P(R) porque não contém o vetor zero e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

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