Verifique que os seguintes não são subespaços vetoriais de P(R).
V=p(t) in P(R): p(t) >= 0 forall t in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
V = ,p(t)in P(R) : p(t)>= 0;forall tinR
não é um subespaço vetorial de P(R). Para isso vamos usar o teste de subespaço: verificar se V é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero p(t)=0 pertence a V, pois para todo tinR temos
0 = p(t)>= 0
Logo V é não-vazio.

Passo 3

Sejam p,qin V. Então p(t)>=0 e q(t)>=0 para todo t. Daí
(p+q)(t) = p(t)+q(t)>=0+0=0,
então p+qin V. Assim, V é fechado sob soma.

Passo 4

Para ser subespaço, V deveria ser fechado sob multiplicação por qualquer escalar lambdainR. Mas tome lambda=-1 e p(t)=1, que está em V pois 1>=0. Então
(-1)cdot p(t) = -1<0,
logo (-1)pnotin V. Isso contradiz o fechamento escalar.

Resposta

V não é subespaço de P(R) porque falha o fechamento sob multiplicação escalar.

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