Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=[rrr1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1
e pede seus autovalores e autovetores. Para isso vamos (i) calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 e (ii) resolver (A-lambda I)x=0 para cada valor próprio lambda.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico. Escrevendo
A - lambda I = 1-lambda & 3 & -3 0 & 4-lambda & 0 -3 & 3 & 1-lambda ,
e expandindo pelo pivô da segunda linha, obtemos
det(A-lambda I) =(4-lambda)det1-lambda & -3-3 & 1-lambda =(4-lambda)l((1-lambda)^2-9r)
Desenvolvendo, fica
det(A-lambda I)=(4-lambda)(lambda^2-2lambda-8) =(4-lambda)(lambda-4)(lambda+2)
Portanto os autovalores são
lambda1=4(mu<iplicidade 2), lambda2=-2(mu<iplicidade 1)

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio para lambda=-2. Temos
A+2I= 3 & 3 & -3 0 & 6 & 0 -3 & 3 & 3 ,
e o sistema
3x+3y-3z=0, 6y=0, -3x+3y+3z=0
Da segunda equação vem y=0 e as demais reduzem-se a x-z=0. Logo
x=z,;y=0,
e o autovetor associado a lambda=-2 pode ser escolhido como
v-2=(1,0,1)^T

Passo 4

Para lambda=4 resolvemos
A-4I= -3 & 3 & -3 0 & 0 & 0 -3 & 3 & -3 ,
cuja única equação não trivial é
-3x+3y-3z=0Longrightarrow x-y+z=0;Longrightarrow;x=y-z
Isso mostra que o espaço próprio é bidimensional, dado por
(x,y,z)=(y-z,y,z) =y,(1,1,0)^T+z,(-1,0,1)^T
Portanto uma base pode ser
v4^(1)=(1,1,0)^T, v4^(2)=(-1,0,1)^T

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
Para lambda=-2: autovetor (1,0,1)^T.
Para lambda=4: autovetores formam o espaço
span(1,1,0)^T,;(-1,0,1)^T.

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