Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas.
Se u e v são L.I., então u, v, w são L.I. para todo w.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe diz: “Se u e v são linearmente independentes, então u, v, w são linearmente independentes para todo w.”
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Vamos usar alguns conceitos básicos dessas áreas para analisar a afirmação e verificar se ela é sempre verdadeira ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes (L.I.). Dois vetores u e v são L.I. se não existe um número escalar k tal que u = kv, ou seja, um não é múltiplo do outro.

Passo 3

Agora, a afirmação quer dizer que se u e v são L.I., então qualquer terceiro vetor w juntamente com eles também será L.I. Vamos ver se isso sempre acontece.

Passo 4

Para verificar isso, vamos testar com um contra-exemplo, ou seja, encontrar uma situação onde u e v são L.I., mas ao adicionar w, os três vetores não são L.I.

Passo 5

Vamos considerar no R^3 os seguintes vetores:
u = 1 0 0, v = 0 1 0, w = 1 1 0

Passo 6

Primeiro, vamos ver se u e v são L.I. Para isso, verificamos se algum é múltiplo do outro. Claramente, u não é múltiplo de v e vice-versa, então eles são L.I.

Passo 7

Agora, vamos analisar se os três vetores [\vec{u}), , são L.I. Para isso, precisamos ver se existe alguma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo:
Substituindo os vetores:
Isso resulta em:
Da primeira equação, .

Passo 8

Isso significa que qualquer vetor da forma (a, a, -a) satisfaz as equações. Por exemplo, se a = 1, temos:
1u + 1v -1w = 0
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo, ou seja, os três vetores não são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, a afirmação "Se u e v são L.I., então u, v, w são L.I. para todo w" é falsa, já que encontramos um contra-exemplo onde isso não acontece.

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