Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas.
Se e são L.I., então são L.I. para todo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe diz: “Se e são linearmente independentes, então , , são linearmente independentes para todo .”
O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente sobre combinações lineares e independência linear. Vamos usar alguns conceitos básicos dessas áreas para analisar a afirmação e verificar se ela é sempre verdadeira ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dois vetores serem linearmente independentes (L.I.). Dois vetores e são L.I. se não existe um número escalar tal que , ou seja, um não é múltiplo do outro.
Passo 3
Agora, a afirmação quer dizer que se e são L.I., então qualquer terceiro vetor juntamente com eles também será L.I. Vamos ver se isso sempre acontece.
Passo 4
Para verificar isso, vamos testar com um contra-exemplo, ou seja, encontrar uma situação onde e são L.I., mas ao adicionar , os três vetores não são L.I.
Passo 5
Vamos considerar no os seguintes vetores:
Passo 6
Primeiro, vamos ver se u e v são L.I. Para isso, verificamos se algum é múltiplo do outro. Claramente, u não é múltiplo de v e vice-versa, então eles são L.I.
Passo 7
Agora, vamos analisar se os três vetores [\vec{u}), , são L.I. Para isso, precisamos ver se existe alguma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo:
Substituindo os vetores:
Isso resulta em:
Da primeira equação, .
Passo 8
Isso significa que qualquer vetor da forma (a, a, -a) satisfaz as equações. Por exemplo, se a = 1, temos:
1u + 1v -1w = 0
Isso mostra que existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo, ou seja, os três vetores não são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, a afirmação "Se u e v são L.I., então u, v, w são L.I. para todo w" é falsa, já que encontramos um contra-exemplo onde isso não acontece.