Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira. Mostre, com contra-exemplos, que as demais são falsas.
Se
e
são L.D., então
são L.D. para todo
.
Se
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre dependência linear de vetores. O enunciado afirma que se os vetores
e
são linearmente dependentes (L.D.), então qualquer conjunto formado por
,
e outro vetor
também será L.D., independente de qual seja
. Para resolver, vamos entender o que significa dependência linear e ver se essa afirmação sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente dependente se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma combinação desses vetores que resulta no vetor zero, onde nem todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Agora, se
e
são L.D., isso significa que um deles é múltiplo do outro. Por exemplo, podemos ter
para algum escalar
. Isso já nos diz que há uma relação direta entre
e
.
Passo 4
Vamos adicionar um terceiro vetor
ao conjunto. A afirmação diz que, não importa qual seja
, os três vetores
,
e
serão L.D. Vamos ver se isso é sempre verdade.
Como
e
já são L.D., adicionar
não altera essa dependência. Isso porque a existência de uma dependência entre
e
já garante que existe uma combinação linear dos três vetores que resulta no zero, independentemente de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
são linearmente dependentes, então qualquer conjunto formado por
,
e
será linearmente dependente para todo vetor
.