Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
e pede os autovalores, os autovetores correspondentes e se A é diagonalizável. O conteúdo é espectro de matrizes triangulares e critérios de diagonalização.
Passo 2
Para achar os autovalores de A calculamos o polinômio característico
p(lambda)=det(A - lambda I)
Como A é triangular, det(A - lambda I) é o produto dos elementos da diagonal de A - lambda I.
Logo o único autovalor é lambda=1, com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Para encontrar o espaço próprio correspondente a
Como
o sistema linear é
Da segunda equação vem dá . A componente fica livre, digamos . Assim os autovetores são
O espaço próprio tem dimensão geométrica 1.
Passo 5
A multiplicidade algébrica de lambda=1 é 3, mas a dimensão do espaço próprio é 1. Como a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios é menor que 3, a matriz A não é diagonalizável.
Resposta
O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 3).
Os autovetores são todos os múltiplos de (1,0,0).
A matriz A não é diagonalizável.