Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
A=(lll1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
e pede os autovalores, os autovetores correspondentes e se A é diagonalizável. O conteúdo é espectro de matrizes triangulares e critérios de diagonalização.

Passo 2

Para achar os autovalores de A calculamos o polinômio característico
p(lambda)=det(A - lambda I)
Como A é triangular, det(A - lambda I) é o produto dos elementos da diagonal de A - lambda I.

Passo 3

Escrevendo
A - lambda I = 1-lambda & 2 & 3 0 & 1-lambda & 2 0 & 0 & 1-lambda ,
temos
p(lambda) = (1-lambda),(1-lambda),(1-lambda) = (1-lambda)^3
Logo o único autovalor é lambda=1, com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para encontrar o espaço próprio correspondente a
Como
o sistema linear é
Da segunda equação vem . A componente fica livre, digamos . Assim os autovetores são
O espaço próprio tem dimensão geométrica 1.

Passo 5

A multiplicidade algébrica de lambda=1 é 3, mas a dimensão do espaço próprio é 1. Como a soma das dimensões geométricas dos espaços próprios é menor que 3, a matriz A não é diagonalizável.

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 3).
Os autovetores são todos os múltiplos de (1,0,0).
A matriz A não é diagonalizável.

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