Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas, e determine quais são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente achar os autovalores e autovetores da transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x + y, 2x + y) . Além disso, precisamos descobrir se essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e polinômio característico.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. A transformação dada é:
T(x, y) = x + y 2x + y
Então, a matriz de T é:
A = 1 & 1 2 & 1

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver o polinômio característico. Isso significa achar os valores de lambda que satisfazem a equação:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 1 2 & 1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (2)(1) = (1 - lambda)^2 - 2

Passo 5

Simplificando o determinante:
(1 - lambda)^2 - 2 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - 2lambda - 1
Então, temos a equação quadrática:
lambda^2 - 2lambda - 1 = 0

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1 + raiz2 e lambda2 = 1 - raiz2

Passo 7

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Para lambda1 = 1 + raiz2 , resolvemos (A - lambda1 I)v = 0 :
1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) x y = -raiz2x + y 2x - raiz2y = 0 0
Da primeira equação, temos y = raiz2x . Então, um autovetor para lambda1 é:
v1 = 1 raiz2

Passo 8

Para lambda2 = 1 - raiz2 , resolvemos (A - lambda2 I)v = 0 :
1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) x y = raiz2x + y 2x + raiz2y = 0 0
Da primeira equação, temos y = -raiz2x . Então, um autovetor para lambda2 é:
v2 = 1 -raiz2

Passo 9

Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos checar se ela tem um conjunto de autovetores lineares independentes que formam uma base para R^2 . Como encontramos dois autovalores distintos com dois autovetores correspondentes, isso significa que A é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores de T são lambda1 = 1 + raiz2 e lambda2 = 1 - raiz2 com os respectivos autovetores v1 = 1 raiz2 e v2 = 1 -raiz2 . A transformação T é diagonalizável.

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