Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente achar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, precisamos descobrir se essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes e polinômio característico.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é:
Então, a matriz de T é:
A = 1 & 1 2 & 1
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver o polinômio característico. Isso significa achar os valores de lambda que satisfazem a equação:
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Para lambda1 = 1 + raiz2 , resolvemos (A - lambda1 I)v = 0 :
1 - (1 + raiz2) & 1 2 & 1 - (1 + raiz2) x y = -raiz2x + y 2x - raiz2y = 0 0
Da primeira equação, temos y = raiz2x . Então, um autovetor para lambda1 é:
v1 = 1 raiz2
Passo 8
Para lambda2 = 1 - raiz2 , resolvemos (A - lambda2 I)v = 0 :
1 - (1 - raiz2) & 1 2 & 1 - (1 - raiz2) x y = raiz2x + y 2x + raiz2y = 0 0
Da primeira equação, temos y = -raiz2x . Então, um autovetor para lambda2 é:
v2 = 1 -raiz2
Passo 9
Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos checar se ela tem um conjunto de autovetores lineares independentes que formam uma base para R^2 . Como encontramos dois autovalores distintos com dois autovetores correspondentes, isso significa que A é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores de T são lambda1 = 1 + raiz2 e lambda2 = 1 - raiz2 com os respectivos autovetores v1 = 1 raiz2 e v2 = 1 -raiz2 . A transformação T é diagonalizável.