Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
A=(ll1 & a 0 & 1)

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a matriz
A = 1 & a 0 & 1
e queremos saber para quais valores de a ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores, em particular a condição de diagonalizabilidade via igualdade entre multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como
det(A - lambda I) = det!1-lambda & a 0 & 1-lambda = (1-lambda)^2,
temos que o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 3

Para achar o espaço próprio associado a lambda=1, resolvemos
(A - I)x = 0,
ou seja
0 & a 0 & 0 x1 x2 = 0 0
Da primeira linha vem a equação a,x2 = 0; a segunda linha não impõe restrição adicional.

Passo 4

Analisando a,x2=0:
  • Se a neq 0, então x2=0 e os vetores próprios são todos da forma (x1,0), gerando um espaço de dimensão 1.
  • Se a = 0, não há restrição em x2 nem em x1, e o espaço próprio é todo R^2, de dimensão 2.

Passo 5

Em dimensão 2, uma matriz com autovalor único de multiplicidade algébrica 2 é diagonalizável somente se a multiplicidade geométrica for também 2. Isso ocorre apenas quando a=0.

Resposta

A matriz A é diagonalizável somente para a = 0.

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