Para quais valores de as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a matriz
A = 1 & a 0 & 1
e queremos saber para quais valores de a ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores, em particular a condição de diagonalizabilidade via igualdade entre multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor.
temos que o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica igual a 2.
Passo 3
Para achar o espaço próprio associado a lambda=1, resolvemos
(A - I)x = 0,
ou seja
0 & a 0 & 0 x1 x2 = 0 0
Da primeira linha vem a equação a,x2 = 0; a segunda linha não impõe restrição adicional.
Passo 4
Analisando a,x2=0:
Se a neq 0, então x2=0 e os vetores próprios são todos da forma (x1,0), gerando um espaço de dimensão 1.
Se a = 0, não há restrição em x2 nem em x1, e o espaço próprio é todo R^2, de dimensão 2.
Passo 5
Em dimensão 2, uma matriz com autovalor único de multiplicidade algébrica 2 é diagonalizável somente se a multiplicidade geométrica for também 2. Isso ocorre apenas quando a=0.