Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
A=(ccc1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 2
e então decidir se A é diagonalizável.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico, fatoração para obter autovalores e resolução dos sistemas (A-lambda I)x=0 para cada lambda, por fim checar diagonalizabilidade a partir da existência de três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico det(A-lambda I) por expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) = 1-lambda & 0 & 2 -1 & -lambda & 1 1 & 1 & 2-lambda =(1-lambda)det!-lambda & 11 & 2-lambda -0+;2det!-1 & -lambda1 & 1
Agora,
det-lambda & 11 & 2-lambda =-lambda(2-lambda)-1 =lambda^2-2lambda-1,
det-1 & -lambda1 & 1 =-1cdot1-(-lambda)cdot1 =lambda-1
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-2lambda-1)+2(lambda-1) =-lambda^3+3lambda^2+lambda-3

Passo 3

Fatoramos o polinômio
-lambda^3+3lambda^2+lambda-3 =-(lambda^3-3lambda^2-lambda+3) =-(lambda-3)(lambda^2-1) =-(lambda-3)(lambda-1)(lambda+1)
Portanto, os autovalores são
lambda1=3, lambda2=1, lambda3=-1

Passo 4

Para resolvemos , isto é
Das equações vem
,
.
Tomando obtemos o autovetor

Passo 5

Para temos :
Da primeira equação .
Da segunda .
Logo um autovetor é

Passo 6

Para resolvemos :
Da primeira equação .
Da segunda .
Tomando dá o autovetor

Passo 7

Como obtivemos três autovalores distintos com três autovetores linearmente independentes, concluímos que A é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autovetores de A:
lambda1=3 com v1=(1,0,1).
lambda2=1 com v2=(-1,1,0).
lambda3=-1 com v3=(-1,-2,1).
A matriz A é diagonalizável.

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