Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1
e decidir se A é diagonalizável.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico det(A-lambda I)=0, solução dos sistemas (A-lambda I)x=0 e critério de diagonalização via multiplicidades geom. = algébrica.
Passo 2
Formamos
A - lambda I = 1-lambda & 3 & -3 0 & 4-lambda & 0 -3 & 3 & 1-lambda
e calculamos o determinante expandindo pela segunda linha (que tem dois zeros):
De 6y=0 vem y=0, e as outras dão x=z.
Logo o espaço próprio é gerado por
v-2=(1,0,1)
Passo 4
Autovetores para lambda=4.
Resolvemos (A-4I)x=0:
A-4I=-3&3&-30&0&0-3&3&-3,
que dá a única equação
-3x+3y-3z=0;Long<=ftrightarrow;x=y-z
Escolhendo parâmetros y e z, temos
x=y-z,
portanto
(x,y,z)=y,(1,1,0)+z,(-1,0,1)
Um basis do espaço próprio de lambda=4 é
v4^(1)=(1,1,0), v4^(2)=(-1,0,1)
Passo 5
Multiplicidade geométrica de lambda=-2 é 1 e de lambda=4 é 2. Como a soma é 3, igual à dimensão da matriz, A tem 3 autovetores independentes e portanto é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autovetores: lambda1=4 (mult. alg. 2), espaço próprio gerado por (1,1,0) e (-1,0,1). lambda2=-2 (mult. alg. 1), espaço próprio gerado por (1,0,1).
A matriz A é diagonalizável.