Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
Temos a matriz
A = 1 & 4 & 2 4 & -5 & -4 2 & -4 & 1
que é simétrica, logo seus autovalores são reais e admitirá um sistema ortonormal de autovetores se for diagonalizável. O objetivo é achar o polinômio característico det(A-lambda I), encontrar seus autovalores lambda, determinar bases dos espaços próprios e concluir sobre diagonalizabilidade.
Multiplicando por -1, obtemos o polinômio característico na forma
lambda^3 +3lambda^2 -45lambda +81 = 0
Passo 3
Testando raízes inteiras, lambda=3 zera o polinômio:
27 +27 -135 +81 = 0
Fazendo a divisão sintética por lambda-3 obtém-se o quociente lambda^2+6lambda-27, cuja resolução dá
lambda = -6 pm raiz36 +1082 = -6 pm 122,
logo as raízes são lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=-9 (multiplicidade 1).
Passo 4
Para resolvemos , i.e.
Das equações segue
que leva a e . Um autovetor correspondente é, por exemplo,
Passo 5
Para resolvemos , i.e.
Todas as linhas dão a mesma relação , isto é . Uma base do espaço próprio de dimensão 2 pode ser obtida, por exemplo, escolhendo
Passo 6
O autovalor lambda=3 tem multiplicidade algébrica 2 e gerou dois autovetores linearmente independentes; lambda=-9 tem multiplicidade 1 e gerou um autovetor. Soma das dimensões 2+1=3 coincide com a ordem da matriz, portanto A é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores e autovetores (não normalizados) são