Seja A=(ll0 & 2 1 & 1). Ache os autovalores e os autovetores de A e de A^-1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 2 1 & 1
Pede-se os autovalores e autovetores de A e de A^-1. Vamos usar o polinômio característico
det(A - lambda I)=0
para achar lambda e, em seguida, resolver (A - lambda I)v=0. Também usaremos a propriedade de que, para A inversível, se Av=lambda v com lambdaneq0, então A^-1v=lambda^-1v.

Passo 2

Montamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det-lambda & 2 [6pt]1 & 1-lambda = (-lambda)(1-lambda) - 2 = lambda^2 - lambda - 2 ]

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 - lambda - 2 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Logo,
lambda1 = 2 e lambda2 = -1.

Passo 4

Para cada autovalor achamos o autovetor resolvendo .
Para :
Um autovetor associado é .
Para :
Um autovetor associado é .]

Passo 5

Calculamos A^-1. Como det A = 0cdot1 - 2cdot1 = -2, tem-se
A^-1 = 1det A 1 & -2 [4pt]-1 & 0 = -tfrac12 1 & -2 [4pt]-1 & 0 = -tfrac12 & 1 [4pt]tfrac12 & 0 ]

Passo 6

Pela propriedade de inversão, os autovalores de A^-1 são os recíprocos de 2 e -1, ou seja,
lambda'1 = tfrac12 e lambda'2 = -1,
e os autovetores são os mesmos de A, pois
A vi = lambdai vi ;Longrightarrow; A^-1 vi = lambdai^-1 vi
Assim, para A^-1 temos pares (lambda'1, v1) e (lambda'2, v2).

Resposta

Autovalores e autovetores de A:
lambda1 = 2, v1 = 11; lambda2 = -1, v2 = -21
Autovalores e autovetores de A^-1:
lambda'1 = tfrac12, v1 = 11; lambda'2 = -1, v2 = -21

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