Determine a rotação em E^2 que faz com que a reta r: x+2 y+1=0 fique paralela ao novo eixo das abcissas e esteja contida no 1^circ e 2^circ quadrantes.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma reta dada pela equação r: x + 2y + 1 = 0 . O objetivo é encontrar um ângulo de rotação no plano E^2 que faça com que essa reta fique paralela ao novo eixo das abscissas (o eixo x) e que, após a rotação, a reta esteja nos 1^circ e 2^circ quadrantes.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Como funciona a rotação de eixos no plano.
  • Como transformar a equação da reta após a rotação.
  • Como determinar o ângulo necessário para que a reta fique paralela ao eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ocorre a rotação de um eixo no plano. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo [\theta), as novas coordenadas estão relacionadas com as antigas pelas seguintes fórmulas:
Isso significa que qualquer equação no sistema original pode ser reescrita no sistema rotacionado substituindo por e usando essas fórmulas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à equação da reta r: x + 2y + 1 = 0 . Substituindo x e y pelas expressões em termos de x' e y':
(x' costheta - y' sintheta) + 2(x' sintheta + y' costheta) + 1 = 0
Expandindo os termos:
x' costheta - y' sintheta + 2x' sintheta + 2y' costheta + 1 = 0
Agrupando os termos com x' e y':
x'( costheta + 2 sintheta ) + y'( -sintheta + 2 costheta ) + 1 = 0

Passo 4

Queremos que, após a rotação, a reta fique paralela ao eixo das abscissas ( x' -eixos). Isso significa que a inclinação da reta no sistema rotacionado deve ser zero, ou seja, o coeficiente de y' deve ser zero.
Portanto, estabelecemos a condição:
-sintheta + 2 costheta = 0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar o ângulo theta:
-sintheta + 2 costheta = 0 Rightarrow 2 costheta = sintheta Rightarrow tantheta = sinthetacostheta = 2
Então,
theta = arctan(2)

Passo 6

Calculando o valor de theta:
theta = arctan(2) approx 63,43^circ
Esse é o ângulo pelo qual precisamos rotacionar o sistema de coordenadas para que a reta r fique paralela ao novo eixo das abscissas.

Passo 7

Agora, precisamos garantir que, após a rotação de 63,43^circ, a reta esteja contida nos 1^circ e 2^circ quadrantes do novo sistema de coordenadas. Isso significa que todos os pontos da reta devem ter y' > 0 no sistema rotacionado.
Como a inclinação da reta após a rotação é zero, ela será uma linha horizontal acima da origem, cumprindo a condição de estar nos 1^circ e 2^circ quadrantes.

Resposta

O ângulo de rotação necessário é aproximadamente 63,43^circ.

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