Determine a rotação em
que faz com que a reta
fique paralela ao novo eixo das abcissas e esteja contida no
e
quadrantes.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma reta dada pela equação
. O objetivo é encontrar um ângulo de rotação no plano
que faça com que essa reta fique paralela ao novo eixo das abscissas (o eixo x) e que, após a rotação, a reta esteja nos
e
quadrantes.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Como funciona a rotação de eixos no plano.
- Como transformar a equação da reta após a rotação.
- Como determinar o ângulo necessário para que a reta fique paralela ao eixo x.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ocorre a rotação de um eixo no plano. Quando rotacionamos o sistema de coordenadas em um ângulo [\theta), as novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
pelas seguintes fórmulas:
Isso significa que qualquer equação no sistema original pode ser reescrita no sistema rotacionado substituindo por
e
usando essas fórmulas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à equação da reta
. Substituindo
e
pelas expressões em termos de
e
:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos com
e
:
Passo 4
Queremos que, após a rotação, a reta fique paralela ao eixo das abscissas (
-eixos). Isso significa que a inclinação da reta no sistema rotacionado deve ser zero, ou seja, o coeficiente de
deve ser zero.
Portanto, estabelecemos a condição:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar o ângulo
:
Então,
Passo 6
Calculando o valor de
:
Esse é o ângulo pelo qual precisamos rotacionar o sistema de coordenadas para que a reta
fique paralela ao novo eixo das abscissas.
Passo 7
Agora, precisamos garantir que, após a rotação de
, a reta esteja contida nos
e
quadrantes do novo sistema de coordenadas. Isso significa que todos os pontos da reta devem ter
no sistema rotacionado.
Como a inclinação da reta após a rotação é zero, ela será uma linha horizontal acima da origem, cumprindo a condição de estar nos
e
quadrantes.
Resposta
O ângulo de rotação necessário é aproximadamente
.