Ache os autovalores a autovetores correspondentes dos operadores lineares
T_{A} tal que A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{pmatrix}.
O conteúdo é o cálculo do polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e, em seguida, a resolução de (A - \lambda I)v = 0 para cada autovalor \lambda.

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico. Subtraindo \lambda na diagonal, temos
A - \lambda I = \begin{pmatrix}1 - \lambda & 2 \\\\ 0 & -1 - \lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)\,(-1 - \lambda) - 0 = -(1 - \lambda)(\lambda + 1).

Passo 3

Para achar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
-(1 - \lambda)(\lambda + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1 - \lambda)(\lambda + 1) = 0.
Dessa forma, os autovalores são
\lambda_1 = 1 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = -1.

Passo 4

Agora encontramos os autovetores resolvendo (A - \lambda I)v = 0 para cada \lambda.
Para \lambda_1 = 1:
A - I = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix},
e a equação matricial é
\begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 2v_2 = 0 \;\Rightarrow\; v_2 = 0,\; v_1 \text{ livre}.
Tomando v_1 = 1, um autovetor correspondente é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1 \\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2 = -1:
A + I = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e
\begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 2v_1 + 2v_2 = 0 \;\Rightarrow\; v_1 = -v_2.
Escolhendo v_2 = 1, obtemos o autovetor
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalor \lambda_1 = 1, autovetor associado
\begin{pmatrix}1 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Autovalor \lambda_2 = -1, autovetor associado
\begin{pmatrix}-1 \\\\ 1\end{pmatrix}.

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