Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T: \mathbb{R}^{67} \rightarrow \mathbb{R}^{67} possui 67 autovalores reais distintos, então T é diagonalizável.
II - Seja C uma matriz 52 \times 52 com 37 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 38 , então C é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre diagonalização de operadores/matrizes em espaços reais de dimensão finita. Precisaremos usar que um operador em \mathbb{R}^n é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio mínimo se decompõe em fatores lineares distintos (ou equivalentemente a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores é n). Também usaremos o teorema do posto-nulidade para relacionar posto de C e multiplicidade geométrica do autovalor zero.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se T:\mathbb{R}^{67}\to\mathbb{R}^{67} possui 67 autovalores reais distintos, então T é diagonalizável.”
Teorema: num espaço de dimensão n, se um operador linear tem n autovalores distintos no corpo (aqui \mathbb{R}), seu polinômio mínimo tem n raízes simples e, portanto, T é diagonalizável.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Seja C matriz 52\times52 com 37 autovalores distintos não nulos. Se seu posto é 38, então C é diagonalizável.”
  1. Pelo teorema do posto-nulidade, \mathrm{nullity}\text{(C)}=52-38=14. Logo, zero é autovalor com multiplicidade geométrica 14.
  2. Como há 37 autovalores não nulos distintos, cada um com multiplicidade algébrica \ge1, e o total de dimensões é 52, a soma das multiplicidades algébricas é
m_0+\sum_{i=1}^{37}m_i \;=\;52,
onde m_0 é a multiplicidade algébrica de 0 e cada m_i\ge1. Da nulidade 14 vem m_0\ge14, e da soma das demais m_i\ge37 vem m_0\le15. Assim m_0\in\{14,15\}.
3. Se m_0=15, então geometricamente 0 tem dimensão 14<15, ou seja, não é semiesimples, logo não diagonaliza.
Se m_0=14, então sobra uma dimensão algébrica extra entre os autovalores não nulos, implicando algum m_j=2; não há garantia de que sua multiplicidade geométrica seja 2.
Em ambos os casos pode haver bloco de Jordan de ordem >1, impedindo diagonalização.
Conclusão: a afirmativa II não é garantidamente verdadeira.

Passo 4

Só a afirmação I é verdadeira e a II é falsa.

Resposta

(B) Apenas I é verdadeira.

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