Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui 67 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.
II - Seja
uma matriz
com 37 autovalores reais distintos diferentes de zero. Se seu posto é 38 , então
é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Seja
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre diagonalização de operadores/matrizes em espaços reais de dimensão finita. Precisaremos usar que um operador em
é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio mínimo se decompõe em fatores lineares distintos (ou equivalentemente a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores é
). Também usaremos o teorema do posto-nulidade para relacionar posto de
e multiplicidade geométrica do autovalor zero.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
possui 67 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.”
Teorema: num espaço de dimensão , se um operador linear tem
autovalores distintos no corpo (aqui
), seu polinômio mínimo tem
raízes simples e, portanto,
é diagonalizável.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Teorema: num espaço de dimensão
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Seja
matriz
com 37 autovalores distintos não nulos. Se seu posto é 38, então
é diagonalizável.”
- Pelo teorema do posto-nulidade,
. Logo, zero é autovalor com multiplicidade geométrica . - Como há 37 autovalores não nulos distintos, cada um com multiplicidade algébrica
, e o total de dimensões é 52, a soma das multiplicidades algébricas é
onde
é a multiplicidade algébrica de
e cada
. Da nulidade
vem
, e da soma das demais
vem
. Assim
.
3. Se , então geometricamente
tem dimensão
, ou seja, não é semiesimples, logo não diagonaliza.
Se , então sobra uma dimensão algébrica extra entre os autovalores não nulos, implicando algum
; não há garantia de que sua multiplicidade geométrica seja 2.
Em ambos os casos pode haver bloco de Jordan de ordem , impedindo diagonalização.
Conclusão: a afirmativa II não é garantidamente verdadeira.
3. Se
Se
Em ambos os casos pode haver bloco de Jordan de ordem
Conclusão: a afirmativa II não é garantidamente verdadeira.
Passo 4
Só a afirmação I é verdadeira e a II é falsa.
Resposta
(B) Apenas I é verdadeira.