Ache os autovalores a autovetores correspondentes dos operadores lineares
T_{B} tal que B=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores do operador linear representado pela matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda e em seguida resolver sistemas lineares (B-\lambda I)v=0 para cada \lambda.

Passo 2

Para montar o polinômio característico, subtraímos \lambda na diagonal e calculamos o determinante:
B - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 2\\\\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Como as entradas abaixo do primeiro pivô são zero, expandindo pela primeira coluna:
\det(B-\lambda I) = (1-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\\ 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2 - 2\cdot1\bigr).

Passo 3

Igualando a zero, temos
(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2 - 2\bigr)=0.
Daí vêm os autovalores
1-\lambda = 0\quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1,
(1-\lambda)^2 = 2\quad\Longrightarrow\quad 1-\lambda = \pm\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 1\pm\sqrt{2}.

Passo 4

Para \lambda=1, resolvemos
(B-I)v = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
As equações são
2y + 3z = 0,\quad 2z = 0,\quad y = 0,
de onde z=0, y=0 e x livre. Podemos escolher
v_1 = (1,0,0)^T.

Passo 5

Para \lambda = 1+\sqrt{2}, o sistema
(B-(1+\sqrt{2})I)v = 0
leva às equações
-\sqrt{2}\,x + 2y + 3z = 0,\quad -\sqrt{2}\,y + 2z = 0,\quad y - \sqrt{2}\,z = 0.
Da segunda e terceira equações vem y=\sqrt{2}\,z. Substituindo na primeira:
-\sqrt{2}\,x + 2(\sqrt{2}\,z) + 3z = 0 \;\Longrightarrow\; x = \bigl(2 + \tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr)z.
Escolhendo z=\sqrt{2} para simplificar, obtemos
v_2 = \bigl(3 + 2\sqrt{2},\,2,\,\sqrt{2}\bigr)^T.

Passo 6

Para \lambda = 1-\sqrt{2}, o sistema
(B-(1-\sqrt{2})I)v = 0
gera
\sqrt{2}\,x + 2y + 3z = 0,\quad \sqrt{2}\,y + 2z = 0,\quad y + \sqrt{2}\,z = 0.
Da última equação y = -\sqrt{2}\,z, consistente com a segunda. Na primeira:
\sqrt{2}\,x + 2(-\sqrt{2}\,z) + 3z = 0 \;\Longrightarrow\; x = \bigl(2 - \tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr)z.
Tomando z=\sqrt{2}
v_3 = \bigl(2\sqrt{2} - 3,\,-2,\,\sqrt{2}\bigr)^T.

Resposta

\lambda_1 = 1, \;v_1 = (1,0,0)^T
\lambda_2 = 1 + \sqrt{2}, \;v_2 = (3 + 2\sqrt{2},\,2,\,\sqrt{2})^T
\lambda_3 = 1 - \sqrt{2}, \;v_3 = (2\sqrt{2} - 3,\,-2,\,\sqrt{2})^T

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