Seja \pi o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A=(1,0,0) e B=(0,1,0). Encontre a distância do ponto C=(1,0,1) ao plano \pi.
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto C=(1,0,1) a um plano \pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que une A=(1,0,0) e B=(0,1,0). Vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}^3, um plano pode ser dado por um vetor normal e depois aplicar a fórmula de distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Calcular o vetor direção da reta AB:
\vec{AB} = B - A = (0,1,0) - (1,0,0) = (-1,\,1,\,0).
Passo 3
Como \pi é perpendicular à reta AB e passa pela origem, podemos tomar \vec{n}=\vec{AB} como vetor normal ao plano. A equação de \pi fica
\vec{n}\cdot(x,y,z)=0
isto é,
-\,x + y + 0\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y - x = 0.
Passo 4
A distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano \vec{n}\cdot(x,y,z)+d=0 é