Seja \pi o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A=(1,0,0) e B= (0,1,0). Encontre a distância do ponto C=(1,0,1) ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto C=(1,0,1) a um plano \pi que passa pela origem e é perpendicular à reta que une A=(1,0,0) e B=(0,1,0). Vamos usar o fato de que, em \mathbb{R}^3, um plano pode ser dado por um vetor normal e depois aplicar a fórmula de distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Calcular o vetor direção da reta AB:
\vec{AB} = B - A = (0,1,0) - (1,0,0) = (-1,\,1,\,0).

Passo 3

Como \pi é perpendicular à reta AB e passa pela origem, podemos tomar \vec{n}=\vec{AB} como vetor normal ao plano. A equação de \pi fica
\vec{n}\cdot(x,y,z)=0
isto é,
-\,x + y + 0\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y - x = 0.

Passo 4

A distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano \vec{n}\cdot(x,y,z)+d=0 é
\mathrm{dist} = \frac{\bigl|\vec{n}\cdot(x_0,y_0,z_0)+d\bigr|}{\|\vec{n}\|}.
Aqui d=0 e \vec{n}=(-1,1,0). Para C=(1,0,1) temos
\mathrm{dist} = \frac{\bigl|(-1,1,0)\cdot(1,0,1)\bigr|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

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