Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
[cc1 & 3 -1 & 5]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 3 -1 & 5
e, em seguida, verificar se ela é diagonalizável. Vamos usar o polinômio característico para obter os autovalores e depois resolver (A - lambda I)v = 0 para encontrar os autovetores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores montamos o determinante
detl(A - lambda Ir) = det1-lambda & 3 -1 & 5-lambda
Calculando, temos
detl(A - lambda Ir) = (1-lambda)(5-lambda) - (3)(-1) = lambda^2 - 6lambda + 5 + 3 = lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 3

Resolvendo a equação característica
lambda^2 - 6lambda + 8 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoramos diretamente:
lambda^2 - 6lambda + 8 = (lambda - 2)(lambda - 4) = 0
Logo os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = 4.

Passo 4

Agora encontramos o autovetor associado a lambda1 = 2 resolvendo
(A - 2I)v = 1-2 & 3 -1 & 5-2x y = -1 & 3 -1 & 3x y = 0
A equação -x + 3y = 0 x = 3y. Podemos escolher y = 1 para obter o autovetor
v1 = 3 1

Passo 5

Para lambda2 = 4 resolvemos
(A - 4I)v = 1-4 & 3 -1 & 5-4x y = -3 & 3 -1 & 1x y = 0
A equação -3x + 3y = 0 (ou -x + y = 0) dá x = y. Escolhendo y = 1 fica o autovetor
v2 = 1 1

Passo 6

Como os autovalores lambda1 = 2 e lambda2 = 4 são distintos, os autovetores v1 e v2 são linearmente independentes. Portanto, a matriz A é diagonalizável.

Resposta

lambda1 = 2, autovetor
v1 = 3 1
lambda2 = 4, autovetor
v2 = 1 1
A matriz A é diagonalizável.

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