Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 3 -1 & 5
e, em seguida, verificar se ela é diagonalizável. Vamos usar o polinômio característico para obter os autovalores e depois resolver (A - lambda I)v = 0 para encontrar os autovetores.
Passo 2
Para encontrar os autovalores montamos o determinante
Logo os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = 4.
Passo 4
Agora encontramos o autovetor associado a lambda1 = 2 resolvendo
(A - 2I)v = 1-2 & 3 -1 & 5-2x y = -1 & 3 -1 & 3x y = 0
A equação -x + 3y = 0 dá x = 3y. Podemos escolher y = 1 para obter o autovetor
v1 = 3 1
Passo 5
Para lambda2 = 4 resolvemos
(A - 4I)v = 1-4 & 3 -1 & 5-4x y = -3 & 3 -1 & 1x y = 0
A equação -3x + 3y = 0 (ou -x + y = 0) dá x = y. Escolhendo y = 1 fica o autovetor
v2 = 1 1
Passo 6
Como os autovalores lambda1 = 2 e lambda2 = 4 são distintos, os autovetores v1 e v2 são linearmente independentes. Portanto, a matriz A é diagonalizável.