Verifique se a transformação T: R^2 R^2, onde T(x, y)=(2 x+y, y+3 x) é autoadjunto.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^2toR^2 definida por
T(x,y) = (2x + y,;y + 3x)
e pede para verificar se T é autoadjunto, ou seja, se no produto interno canônico vale
lang<= T(v),wrang<= = lang<= v,T(w)rang<=
para todos v,winR^2.

Passo 2

Para testar essa propriedade, representamos T pela matriz M na base canônica. Como
Tl((x,y)r) = 2x+y3x+y,
a matriz é
M = 2 & 1 [6pt] 3 & 1 ]

Passo 3

No produto interno usual, o operador adjunto de T tem matriz dada pela transposta de M, ou seja,
M^* = M^T = 2 & 3 [6pt] 1 & 1 ]

Passo 4

Para que T seja autoadjunto, deveríamos ter M = M^T. Comparando as entradas dos lugares (1,2) e (2,1) vemos que 1neq3. Logo
M neq M^T

Resposta

A transformação T não é autoadjunta.

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