Verifique se a transformação T: R^2 R^2, onde T(x, y)=(2 x-2 y,-2 x+5 y) é autoadjunto.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y) = (2x - 2y,,-2x + 5y)
é auto-adjunta no espaço R^2 com o produto interno usual
lang<= (x,y),(x',y')rang<= = xx' + yy'.
Por definição, T é auto-adjunta se
lang<= T(u),vrang<= ;=;lang<= u,T(v)rang<= forall,u,vinR^2,
o que, na base canônica e com produto interno padrão, equivale a A = A^T, onde A é a matriz de T.

Passo 2

Escrevemos a matriz A de T na base canônica e1,e2. Como
T(1,0) = (2, -2), T(0,1) = (-2,5),
temos
A = 2 & -2 -2 & 5

Passo 3

Calculamos a transposta de A:
A^T = 2 & -2 -2 & 5 ^T = 2 & -2 -2 & 5

Passo 4

Observamos que
A^T = A
Como a matriz coincide com sua transposta, A é simétrica, o que implica que T é auto-adjunta no produto interno usual.

Resposta

Sim, T é auto-adjunta.

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