Verifique se a transformação
, onde
é autoadjunto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é auto-adjunta no espaço
com o produto interno usual
.
Por definição, é auto-adjunta se
Por definição,
o que, na base canônica e com produto interno padrão, equivale a
, onde
é a matriz de
.
Passo 2
Escrevemos a matriz
de
na base canônica
. Como
temos
Passo 3
Calculamos a transposta de
A :
Passo 4
Observamos que
Como a matriz coincide com sua transposta,
A é simétrica, o que implica que
T é auto-adjunta no produto interno usual.
Resposta
Sim,
T é auto-adjunta.