Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 2 & 1 3 & 4
e verificar se ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é decomposição espectral: vamos usar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver (A - lambda I)v = 0 para cada autovalor, obtendo assim os autovetores.
A equação dá . Podemos escolher , . Um autovetor associado é
Para :
A equação dá , logo . Tomando , , um autovetor é
Passo 4
Como obtivemos dois autovalores distintos lambda1=1 e lambda2=5, e cada um tem um autovetor não nulo associado, esses autovetores são necessariamente linearmente independentes. Logo, A admite uma base de autovetores e é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = 5.
Autovetores correspondentes:
v1 = 1 -1 para lambda1=1, v2 = 1 3 para lambda2=5
Como há dois autovalores distintos com autovetores independentes, a matriz A é diagonalizável.