Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
[ll2 & 1 3 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 2 & 1 3 & 4
e verificar se ela é diagonalizável. O conteúdo aqui é decomposição espectral: vamos usar o polinômio característico det(A - lambda I)=0 para achar os autovalores e depois resolver (A - lambda I)v = 0 para cada autovalor, obtendo assim os autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det!2-lambda & 1 3 & 4-lambda =(2-lambda)(4-lambda)-3
Desenvolvendo,
(2-lambda)(4-lambda)-3 =8 -2lambda -4lambda +lambda^2 -3 =lambda^2 -6lambda +5
Logo, as raízes de lambda^2 -6lambda +5=0 são
lambda = 6 pm raiz36 -202 =6 pm raiz162 =6 pm 42,
isto é,
lambda1 = 1, lambda2 = 5

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos .
Para :
A equação . Podemos escolher , . Um autovetor associado é
Para :
A equação , logo . Tomando , , um autovetor é

Passo 4

Como obtivemos dois autovalores distintos lambda1=1 e lambda2=5, e cada um tem um autovetor não nulo associado, esses autovetores são necessariamente linearmente independentes. Logo, A admite uma base de autovetores e é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = 5.
Autovetores correspondentes:
v1 = 1 -1 para lambda1=1, v2 = 1 3 para lambda2=5
Como há dois autovalores distintos com autovetores independentes, a matriz A é diagonalizável.

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