Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
e verificar se A é diagonalizável. O conteúdo envolvido é o cálculo do polinômio característico det(A-lambda I) para achar os autovalores e, em seguida, resolver (A-lambda I)x=0 para obter cada autovetor.
Passo 2
Para obter o polinômio característico, montamos A-lambda I e calculamos seu determinante:
A - lambda I = 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 2 1 & 1 & 2-lambda
Fatorando lambda^2-5lambda+6 temos (lambda-2)(lambda-3). Portanto o polinômio característico é
(1-lambda)(lambda-2)(lambda-3)=0
e os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 3
Passo 4
Agora resolvemos (A-lambdaiI)x=0 para cada lambdai:
Para lambda1=1,
A-I = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1
implica y=0 e x+z=0. Logo um autovetor associado é
v1 = -101
Para lambda2=2,
A-2I = -1 & -1 & 0 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0
implica x=-y e -y+2z=0Rightarrow y=2z. Um autovetor é
v2 = -221
Para lambda3=3,
A-3I = -2 & -1 & 0 2 & 0 & 2 1 & 1 & -1
implica y=-2x e x+z=0. Um autovetor é
v3 = 1-2-1
Passo 5
Como obtivemos três autovalores distintos em R, cada um com um autovetor linearmente independente, a matriz A possui três autovetores independentes e, portanto, é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autovetores de A: lambda1=1 com v1 = (-1,0,1)^T lambda2=2 com v2 = (-2,2,1)^T lambda3=3 com v3 = (1,-2,-1)^T
A matriz A é diagonalizável (três autovalores distintos garantem três autovetores independentes).