Uma particula se move ao longo da curva C, dada por r(t)=t^2 i+t^3 j+k. Determinar:
a) os vetores velocidade e aceleração
b) a velocidade escalar
c) as componentes tangencial e normal da aceleração.

Passo 1

A curva de movimento é dada por vec r(t)=t^2,vec i + t^3,vec j + vec k. O conteúdo da matéria é cinemática vetorial: precisamos derivar para obter velocidade e aceleração, depois extrair a velocidade escalar e decompor a aceleração em componentes tangencial e normal.

Passo 2

O vetor velocidade vec v(t) é a derivada de vec r(t) em relação a t. Aplicando d/dt a cada componente temos vec v(t)=l(2tr),vec i + l(3t^2r),vec j + 0,vec k.

Passo 3

O vetor aceleração vec a(t) é a derivada de vec v(t). Derivando cada componente obtemos vec a(t)=2,vec i + 6t,vec j + 0,vec k.

Passo 4

A velocidade escalar (ou rapidez) é a norma de vec v(t). Calculamos |vec v(t)|=raiz(2t)^2+(3t^2)^2=raiz4t^2+9t^4.

Passo 5

A componente tangencial da aceleração é dada por aT=dfracddt|vec v(t)|. Derivando raiz4t^2+9t^4 obtemos aT=8t+36t^32raiz4t^2+9t^4=4t+18t^3raiz4t^2+9t^4

Passo 6

Para a componente normal usamos aN=dfrac|vec v(t)timesvec a(t)||vec v(t)|. Primeiro vec v(t)timesvec a(t)=(0,0,6t^2), logo |vec vtimesvec a|=6t^2. Assim

Passo 7

aN=6t^2raiz4t^2+9t^4

Resposta

a) vec v(t)=2t,vec i+3t^2,vec j, vec a(t)=2,vec i+6t,vec j.
b) |vec v(t)|=raiz4t^2+9t^4
c) aT=4t+18t^3raiz4t^2+9t^4, aN=6t^2raiz4t^2+9t^4

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