Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis. .
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
e dizer se ela é diagonalizável. O conteúdo é autovalores/autovetores: a gente vai usar o determinante de A - lambda I para achar os autovalores e depois resolver (A - lambda I)v = 0 para cada um.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico det(A - lambda I). Primeiro montamos a matriz:
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda
Como a primeira linha tem dois zeros, expandimos pela primeira linha:
Escolhendo parâmetro , um autovetor correspondente é
Passo 5
Para lambda = i temos
A - iI = 1-i & 0 & 0 1 & 1-i & -2 0 & 1 & -1-i ,
da primeira linha vem (1-i)x=0Rightarrow x=0. Das outras duas:
(1-i)y - 2z = 0, y +(-1-i)z = 0 ;Longrightarrow; y = (1+i)z
Tomando z=1, um autovetor é
v2 = 01+i1
Para lambda = -i o procedimento é análogo e dá
v3 = 01-i1
Passo 6
Como os três autovalores 1,i,-i são distintos em C, a matriz é diagonalizável sobre C. Sobre R, ela não é diagonalizável porque não conseguimos um autovetor real para i e -i.