Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
[ccc1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1].

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
e dizer se ela é diagonalizável. O conteúdo é autovalores/autovetores: a gente vai usar o determinante de A - lambda I para achar os autovalores e depois resolver (A - lambda I)v = 0 para cada um.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico det(A - lambda I). Primeiro montamos a matriz:
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda
Como a primeira linha tem dois zeros, expandimos pela primeira linha:
det(A - lambda I) = (1-lambda)det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda

Passo 3

Agora calculamos o menor
det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda = (1-lambda)(-1-lambda) - (-2)cdot 1 = - (1-lambda)(1+lambda) + 2 = lambda^2 + 1
Logo o polinômio característico é
det(A - lambda I) = (1-lambda)(lambda^2 + 1) = 0
Isso dá os autovalores
lambda1 = 1, lambda2,3 = pm i

Passo 4

Para resolvemos :
Das duas equações não triviais vem
Escolhendo parâmetro , um autovetor correspondente é

Passo 5

Para lambda = i temos
A - iI = 1-i & 0 & 0 1 & 1-i & -2 0 & 1 & -1-i ,
da primeira linha vem (1-i)x=0Rightarrow x=0. Das outras duas:
(1-i)y - 2z = 0, y +(-1-i)z = 0 ;Longrightarrow; y = (1+i)z
Tomando z=1, um autovetor é
v2 = 01+i1
Para lambda = -i o procedimento é análogo e dá
v3 = 01-i1

Passo 6

Como os três autovalores 1,i,-i são distintos em C, a matriz é diagonalizável sobre C. Sobre R, ela não é diagonalizável porque não conseguimos um autovetor real para i e -i.

Resposta

Autovalores e autovetores:
lambda1 = 1, v1 = (2,2,1)^T;
lambda2 = i, v2 = (0,,1+i,,1)^T;
lambda3 = -i, v3 = (0,,1-i,,1)^T.
Diagonalizável em C (três autovalores distintos), não diagonalizável em R.

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