Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
[ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0
e verificar se A é diagonalizável. O conteúdo aqui é resolução do polinômio característico, obtenção das raízes (autovalores), solução de (A-lambda I)v=0 (autovetores), e critério de diagonalização (autovalores distintos).

Passo 2

Vamos montar o polinômio característico det(A - lambda I)=0.
A - lambda I = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 -1 & 0 & -lambda ,
então
det(A - lambda I) = -lambda -lambda & 1 0 & -lambda -1 0 & 1 -1 & -lambda = -lambda(lambda^2)-1(0cdot(-lambda)-1cdot(-1)) = -lambda^3-1
Logo o polinômio característico é
-l(lambda^3+1r)=0 Longrightarrow lambda^3 + 1 = 0

Passo 3

As raízes de lambda^3+1=0 são
lambdak = e^i(pi+2pi k)/3, k=0,1,2,
isto é
lambda1 = -1, lambda2 = e^ipi/3 = tfrac12 + tfracraiz32,i, lambda3 = e^i5pi/3 = tfrac12 - tfracraiz32,i

Passo 4

Para
Dessas equações segue . Tomando vem um autovetor

Passo 5

Para resolvemos :
implica
,
e a terceira equação é redundante porque . Tomando obtemos
De modo análogo, para temos o autovetor conjugado

Passo 6

Os três autovalores são distintos, logo A é diagonalizável sobre C. Como dois autovalores são complexos não reais, A não se diagonaliza por matriz real mas sim por matriz complexa.

Resposta

Autovalores:
lambda1 = -1, lambda2 = tfrac12 + tfracraiz32,i, lambda3 = tfrac12 - tfracraiz32,i
Autovetores correspondentes:
v1 = 1-11, v2 = 1omegaomega^2, v3 = 1overlineomegaoverlineomega^2,
onde omega=e^ipi/3.
A é diagonalizável sobre C (sim) e não sobre R.

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