Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1
e verificar se ela é diagonalizável. Vamos usar que, para matrizes triangulares, os autovalores são as entradas da diagonal, depois resolver (A-I)x=0 para achar os autovetores e comparar multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são simplesmente as entradas da diagonal. Logo lambda1=1, lambda2=1, lambda3=1.
Ou seja, o único autovalor é
lambda = 1
com multiplicidade algébrica igual a 3.
Passo 3
Para encontrar os autovetores, resolvemos
(A - I)x = 0
Em bloco,
A - I = 0 & 2 & 3 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
Isso gera o sistema
2x2 + 3x3 = 0, 2x3 = 0,
da segunda equação vem x3=0, daí x2=0 e x1 fica livre. Portanto o espaço próprio de lambda=1 é
A multiplicidade algébrica de lambda=1 é 3, mas a multiplicidade geométrica é 1. Como a geométrica é menor que a algébrica, A não é diagonalizável.
Resposta
O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 3).
Os autovetores são todos múltiplos de (1,0,0)^T, ou seja, o espaço próprio tem dimensão 1.
Logo, A não é diagonalizável.