Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
[lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1
e verificar se ela é diagonalizável.
Conteúdo: cálculo do polinômio característico, solução para lambda, obtenção dos vetores próprios e critério de diagonalização (autovalores distintos).

Passo 2

Para achar o polinômio característico det(A-lambda I)=0, escrevemos
det(A-lambda I) = 1-lambda & 1 & 2 1 & 2-lambda & 1 2 & 1 & 1-lambda
Expandindo pela primeira linha obtemos
(1-lambda)l((2-lambda)(1-lambda)-1cdot1r) -1l(1cdot(1-lambda)-1cdot2r) +2l(1cdot1-(2-lambda)cdot2r)
Simplificando dá
-lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4 = 0

Passo 3

Multiplicando por -1 e fatorando, temos
lambda^3 -4lambda^2 -lambda +4 = 0
Teste lambda=1 mostra que é raiz, e a divisão por lambda-1 leva ao quadrático
lambda^2 -3lambda -4 = 0,
cuja solução é lambda = 3pm52, ou seja lambda=4 e lambda=-1.
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=4, lambda3=-1

Passo 4

Agora achamos os autovetores resolvendo (A-lambda I)v=0 para cada lambda:
— Para lambda=1,
A-I=0&1&21&1&12&1&0,
o sistema leva a y=-2z e x=z. Tomando z=1, um autovetor é
v1 = (1,,-2,,1)^T
— Para lambda=4,
A-4I=-3&1&21&-2&12&1&-3,
o sistema impõe x=y=z. Tomando x=1, um autovetor é
v2 = (1,,1,,1)^T
— Para lambda=-1,
A+I=2&1&21&3&12&1&2,
o sistema dá y=0 e x=-z. Com z=1, um autovetor é
v3 = (-1,,0,,1)^T

Passo 5

Como os três autovalores 1,4,-1 são todos distintos, os autovetores v1,v2,v3 são linearmente independentes. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

Autovalores:
lambda1=1, lambda2=4, lambda3=-1.
Autovetores associados:
v1=(1,-2,1)^T,
v2=(1,1,1)^T,
v3=(-1,0,1)^T.
A matriz é diagonalizável, pois tem três autovalores distintos.

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