Ache os autovalores e autovetores correspondentes das seguintes matrizes e, se possível, verifique se os tais são diagonalizáveis.
[cccc2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0].

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 12 & 0 & 3 & 0 0 & -1 & 0 & 0
e, em seguida, verificar se A é diagonalizável.
Conteúdo: autovalores (espectrum), autovetores (espaços próprios) e critério de diagonalização (comparar multiplicidade algébrica e geométrica).

Passo 2

Para achar o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I), note que A separa em dois blocos 2times 2 sobre as variáveis (x,z) e (y,w):
B = 2-lambda & 1 12 & 3-lambda, C = 2-lambda & 1 -1 & -lambda
Logo
chiA(lambda) =det(B),det(C) =l((2-lambda)(3-lambda)-12r),l((2-lambda)(-lambda)-(-1)r) =l(lambda^2-5lambda-6r),l(lambda^2-2lambda+1r)
Fatorando,
lambda^2-5lambda-6=(lambda-6)(lambda+1), lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2
Portanto os autovalores são
lambda1=6, lambda2=-1, lambda3=lambda4=1

Passo 3

Autovetor associado a
Escolhendo (x=1], um autovetor é

Passo 4

Autovetor associado a
Escolhendo (x=1], um autovetor é

Passo 5

Autovetores associados a
A família de autovetores é (embora a algébrica seja ).

Passo 6

Multiplicidade geométrica total =1+1+1=3 é menor que a ordem da matriz ( 4). Logo não há base de Bbb R^4 formada por autovetores e A não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e um autovetor de cada:
lambda=6, v=(1,0,4,0)^T; lambda=-1, v=(1,0,-3,0)^T; lambda=1, v=(0,1,0,-1)^T
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 3<4, A não é diagonalizável.

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