A partir das operaçōes não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto
é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nāo são válidos.
Adição:
Multiplicação por um escalar:
,
.
Adição:
Passo 1
O enunciado define em
a adição
que é a soma usual, e a multiplicação por escalar
Queremos ver se, com essas operações,
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
Primeiro conferimos os axiomas de adição em
:
- Fechamento: para todo
, . OK. - Comutatividade:
. OK. - Associatividade:
. OK (soma usual). - Elemento neutro:
satisfaz . OK. - Inverso aditivo:
. OK.
Logo, todos os axiomas relativos à adição são válidos.
Passo 3
Agora os axiomas envolvendo escalares.
Axioma de fechamento sob multiplicação por escalar: para todo e
, deve existir
.
Mas se ,
não é real, de modo que
não fica em
.
Portanto, falha o fechamento sob multiplicação por escalar.
Axioma de fechamento sob multiplicação por escalar: para todo
Mas se
Portanto, falha o fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Mesmo restringindo a
, testamos os demais axiomas:
Distributividade em relação à soma de vetores:
Distributividade em relação à soma de vetores:
e
Aqui vale a distributividade
.
Passo 5
Distributividade em relação à soma de escalares:
enquanto
Não há, em geral,
. Logo, falha
Passo 6
Associatividade da multiplicação de escalares:
Isto vale sempre que
e
existam (isto é,
). Mas como a operação não está definida para
ou
, o axioma também falha no escopo de todos os escalares reais.
Passo 7
Identidade escalar:
Este axioma é válido.
Resposta
Os axiomas que não se satisfazem são:
- Fechamento sob multiplicação por escalar (não definido para
). - Distributividade em relação à soma de escalares:
. - Associatividade da multiplicação de escalares no domínio completo de
.