A partir das operaçōes não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto mathbbR^2 é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nāo são válidos.
Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(raizc x1, raizc y1), com c in R.

Passo 1

O enunciado define em R^2 a adição
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
que é a soma usual, e a multiplicação por escalar
c,(x,y)=(raizc,x,;raizc,y), cinR
Queremos ver se, com essas operações, R^2 satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

Primeiro conferimos os axiomas de adição em R^2:
  1. Fechamento: para todo (x1,y1),(x2,y2)inR^2, (x1+x2,y1+y2)inR^2. OK.
  2. Comutatividade: (x1,y1)+(x2,y2)=(x2,y2)+(x1,y1). OK.
  3. Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w). OK (soma usual).
  4. Elemento neutro: (0,0) satisfaz (x,y)+(0,0)=(x,y). OK.
  5. Inverso aditivo: (x,y)+(-x,-y)=(0,0). OK.
Logo, todos os axiomas relativos à adição são válidos.

Passo 3

Agora os axiomas envolvendo escalares.
Axioma de fechamento sob multiplicação por escalar: para todo cinR e v=(x,y)inR^2, deve existir c,vinR^2.
Mas se c<0, raizc não é real, de modo que c,(x,y) não fica em R^2.
Portanto, falha o fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Mesmo restringindo a c>=0, testamos os demais axiomas:
Distributividade em relação à soma de vetores:
c,(u+v)=c,(x1+x2,;y1+y2) =(raizc(x1+x2),;raizc(y1+y2)) =(raizcx1+raizcx2,;raizcy1+raizcy2)
e
c,u+c,v=(raizcx1,raizcy1)+(raizcx2,raizcy2) =(raizcx1+raizcx2,;raizcy1+raizcy2)
Aqui vale a distributividade c,(u+v)=c,u+c,v.

Passo 5

Distributividade em relação à soma de escalares:
(c+d),v=(raiz,c+d,x,;raiz,c+d,y),
enquanto
c,v+d,v=(raizcx,raizcy)+(raizdx,raizdy) =((raizc+raizd)x,;(raizc+raizd)y)
Não há, em geral, raizc+d=raizc+raizd. Logo, falha
(c+d),v=c,v+d,v

Passo 6

Associatividade da multiplicação de escalares:
c,(d,v)=c,(raizdx,raizdy) =(raizc,raizd,x,;raizc,raizd,y) =(raizcd,x,;raizcd,y) =(cd),v
Isto vale sempre que raizc e raizd existam (isto é, c,d>=0). Mas como a operação não está definida para c<0 ou d<0, o axioma também falha no escopo de todos os escalares reais.

Passo 7

Identidade escalar:
1,(x,y)=(raiz1,x,raiz1,y)=(x,y)
Este axioma é válido.

Resposta

R^2 não é um espaço vetorial com essas operações.
Os axiomas que não se satisfazem são:
  • Fechamento sob multiplicação por escalar (não definido para c<0).
  • Distributividade em relação à soma de escalares: (c+d)vneq c,v+d,v.
  • Associatividade da multiplicação de escalares no domínio completo de R.

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