A partir das operaçōes não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto mathbbR^2 é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nāo são válidos.
Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, y1+y2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(c x1, y1), com c in R

Passo 1

O enunciado define operações não usuais em R^2:
– Adição
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1,;y1+y2)
– Multiplicação por escalar
c,(x1,y1) = (c,x1,;y1)
Vamos verificar os axiomas de espaço vetorial sobre R:
1. Fechamento em soma
2. Comutatividade da soma
3. Associatividade da soma
4. Existência de elemento neutro (adição)
5. Existência de inverso aditivo
6. Fechamento em multiplicação por escalar
7. Distributividade c(u+v)=cu+cv
8. Distributividade (c+d)v=cv+dv
9. Compatibilidade (cd)v=c(dv)
10. Identidade 1cdot v=v.

Passo 2

Verificamos os axiomas da operação de adição:
1. Fechamento: claro, (x1,y1)+(x2,y2)inR^2.
2. Comutatividade:
(x1,y1)+(x2,y2) = (x1,y1+y2), (x2,y2)+(x1,y1) = (x2,y2+y1)
Para serem iguais precisaríamos x1=x2 sempre, o que não ocorre em geral. Logo, não é comutativa.
3. Associatividade: usando só soma em R no segundo componente,
((x1,y1)+(x2,y2))+(x3,y3) = (x1,y1+y2+y3) = (x1,y1+(y2+y3)) = (x1,y1)+((x2,y2)+(x3,y3)),
portanto é associativa.

Passo 3

Axioma do elemento neutro aditivo: buscamos 0=(z1,z2) tal que para todo (x,y)
(x,y)+(z1,z2) = (x,y) Longrightarrow (x,;y+z2)=(x,y);Rightarrow;z2=0,
mas também precisaríamos
(z1,z2)+(x,y) = (x,y),
o que daria (z1,;z2+y)=(x,y) impossível para todo (x,y).
Logo, não existe elemento neutro aditivo em R^2 que funcione dos dois lados.
Sem neutro aditivo, não há inverso aditivo (pois este se define via v+(-v)=0). Portanto, os axiomas 4 e 5 falham.

Passo 4

Verificamos agora os axiomas envolvendo multiplicação por escalar (mantendo soma definida acima):
6. Fechamento: c(x,y)=(c,x,y)inR^2.
7. Distributividade sobre soma de vetores:
cl((x1,y1)+(x2,y2)r) = c(x1,y1+y2) = (c,x1,;y1+y2),
c(x1,y1)+c(x2,y2) = (c,x1,y1)+(c,x2,y2) = (c,x1,;y1+y2)
Funciona, logo vale.
8. Distributividade sobre soma de escalares:
(c+d)(x,y) = l((c+d)x,;yr),
c(x,y)+d(x,y) = (c,x,y)+(d,x,y) = (c,x,;y+y) = (c,x,;2y)
Geralmente (c+d)xneq c,x e yneq2y, então falha.
9. Compatibilidade (cd)(x,y) = (cd,x,y) e
cl(d(x,y)r) = c(d,x,y) = (c,d,x,y),
vale.
10. Identidade 1cdot(x,y) = (1cdot x,y) = (x,y), vale.

Passo 5

Resumo dos axiomas que não são válidos:
– Axioma 2 (comutatividade da soma)
– Axioma 4 (existência de elemento neutro aditivo)
– Axioma 5 (existência de inverso aditivo)
– Axioma 8 (distributividade (c+d)v=cv+dv)

Resposta

R^2 com essas operações não é espaço vetorial. Os axiomas inválidos são
2, 4, 5 e 8.

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