A partir das operaçōes não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto
é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nāo são válidos.
Adição:
Multiplicação por um escalar:
, com
Adição:
Passo 1
O enunciado define operações não usuais em
:
– Adição
– Adição
– Multiplicação por escalar
Vamos verificar os axiomas de espaço vetorial sobre
:
. Fechamento em soma
. Comutatividade da soma
. Associatividade da soma
. Existência de elemento neutro (adição)
. Existência de inverso aditivo
. Fechamento em multiplicação por escalar
. Distributividade
. Distributividade
. Compatibilidade
. Identidade
.
Passo 2
Verificamos os axiomas da operação de adição:
. Fechamento: claro,
.
. Comutatividade:
Para serem iguais precisaríamos
sempre, o que não ocorre em geral. Logo, não é comutativa.
. Associatividade: usando só soma em
no segundo componente,
portanto é associativa.
Passo 3
Axioma do elemento neutro aditivo: buscamos
tal que para todo
mas também precisaríamos
o que daria
impossível para todo
.
Logo, não existe elemento neutro aditivo em que funcione dos dois lados.
Sem neutro aditivo, não há inverso aditivo (pois este se define via ). Portanto, os axiomas
e
falham.
Logo, não existe elemento neutro aditivo em
Sem neutro aditivo, não há inverso aditivo (pois este se define via
Passo 4
Verificamos agora os axiomas envolvendo multiplicação por escalar (mantendo soma definida acima):
. Fechamento:
.
. Distributividade sobre soma de vetores:
Funciona, logo vale.
. Distributividade sobre soma de escalares:
Geralmente
e
, então falha.
. Compatibilidade
e
vale.
. Identidade
, vale.
Passo 5
Resumo dos axiomas que não são válidos:
– Axioma (comutatividade da soma)
– Axioma (existência de elemento neutro aditivo)
– Axioma (existência de inverso aditivo)
– Axioma (distributividade
)
– Axioma
– Axioma
– Axioma
– Axioma