Questão-11. Seja um espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 , e seja uma base de V .
a) Mostre que é uma base de V .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A base inicial desse espaço é . A questão quer que a gente mostre que o conjunto também é uma base para .
Para provar que é uma base, precisamos verificar duas coisas:
Linearmente independente: Nenhum vetor de pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Gera todo o espaço : Qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .
Vamos passo a passo para mostrar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores de como colunas em uma matriz. Isso facilita na hora de verificar a independência linear.
Então, temos a matriz :
Cada coluna representa um dos vetores de B .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz M . Se o determinante for diferente de zero, isso significa que as colunas são linearmente independentes.
Calculando o determinante:
det(M) = 1 times (-1) times 1 times 1 = -1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores de B são linearmente independentes.
Passo 4
Como B possui 4 vetores e V é um espaço vetorial de dimensão 4 (já que a base A tem 4 elementos), e acabamos de mostrar que B é linearmente independente, podemos concluir que B também gera todo o espaço V .
Isso porque, em um espaço de dimensão finita, qualquer conjunto de vetores que seja linearmente independente e tenha o mesmo número de elementos que a dimensão do espaço, é uma base.
Resposta
Portanto, B = 1, 1 - t, t + t^2, t^2 + t^3 é de fato uma base para o espaço vetorial V = P3(R) .