Questão-11. Seja V=Pn(R) um espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 , e seja A=1, t, t^2, t^3 uma base de V .
a) Mostre que B=1,1-t, t+t^2, t^2+t^3 é uma base de V .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = P3(R) , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A base inicial desse espaço é A = 1, t, t^2, t^3 . A questão quer que a gente mostre que o conjunto B = 1, 1 - t, t + t^2, t^2 + t^3 também é uma base para V .
Para provar que B é uma base, precisamos verificar duas coisas:
  1. Linearmente independente: Nenhum vetor de B pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Gera todo o espaço V : Qualquer polinômio de grau até 3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de B .
Vamos passo a passo para mostrar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores de B como colunas em uma matriz. Isso facilita na hora de verificar a independência linear.
Então, temos a matriz M :
M = 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1
Cada coluna representa um dos vetores de B .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz M . Se o determinante for diferente de zero, isso significa que as colunas são linearmente independentes.
Calculando o determinante:
det(M) = 1 times (-1) times 1 times 1 = -1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores de B são linearmente independentes.

Passo 4

Como B possui 4 vetores e V é um espaço vetorial de dimensão 4 (já que a base A tem 4 elementos), e acabamos de mostrar que B é linearmente independente, podemos concluir que B também gera todo o espaço V .
Isso porque, em um espaço de dimensão finita, qualquer conjunto de vetores que seja linearmente independente e tenha o mesmo número de elementos que a dimensão do espaço, é uma base.

Resposta

Portanto, B = 1, 1 - t, t + t^2, t^2 + t^3 é de fato uma base para o espaço vetorial V = P3(R) .

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