Determine todos os valores de para os quais , para cada a seguir:

Passo 1

O enunciado pede os valores de lambda tais que
detl(A - lambda I3r)=0
para cada uma das quatro matrizes A. Isso equivale a encontrar os autovalores de A. Vamos usar que, se A é triangular, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, e em caso geral faremos expansão para obter o polinômio característico.

Passo 2

Para
A= 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
vemos que A é estritamente triangular superior. Então
A - lambda I3 = -lambda & 1 & 2 0 & -lambda & 3 0 & 0 & -lambda ,
e
detl(A - lambda I3r) =(-lambda),(-lambda),(-lambda) =-lambda^3
A equação -lambda^3=0
lambda=0(mu<iplicidade 3)

Passo 3

Para
A= 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2
temos A triangular inferior. Logo
A - lambda I3 = 1-lambda & 0 & 0 -1 & 3-lambda & 0 3 & 2 & -2-lambda
e
detl(A - lambda I3r) =(1-lambda),(3-lambda),(-2-lambda)
A raiz dessa expressão é dada por
1-lambda=0, 3-lambda=0, -2-lambda=0,
portanto
lambda=1, lambda=3, lambda=-2

Passo 4

Para
A= 2 & -2 & 3 0 & 3 & -2 0 & -1 & 2
notamos que as entradas abaixo da primeira coluna são zero, então
detl(A - lambda I3r) =(2-lambda), det 3-lambda & -2 -1 & 2-lambda
Calculando o menor 2times 2,
det 3-lambda & -2 -1 & 2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-(-2)(-1) =lambda^2-5lambda+4 =(lambda-1)(lambda-4)
Assim
detl(A - lambda I3r) =(2-lambda)(lambda-1)(lambda-4),
e as raízes são
lambda=2, lambda=1, lambda=4

Passo 5

Para
A= 2 & 2 & 3 1 & 2 & 1 2 & -2 & 1
fazemos A-lambda I3 e expandimos pela primeira linha:
A - lambda I3 = 2-lambda & 2 & 3 1 & 2-lambda & 1 2 & -2 & 1-lambda
O determinante é
det(A-lambda I) &=(2-lambda)det!2-lambda&1-2&1-lambda -2det!1&12&1-lambda +3det!1&2-lambda2&-2 &=-lambda^3+5lambda^2-2lambda-8
Igualando a zero e dividindo por -1
lambda^3-5lambda^2+2lambda+8=0
Testando raízes racionais, lambda=2 funciona. Fatorando,
(lambda-2)(lambda^2-3lambda-4)=0 Longrightarrow lambda-2=0,;lambda^2-3lambda-4=0,
e da segunda parte lambda=tfrac3pm52, ou seja lambda=4 ou lambda=-1.

Resposta

Para cada matriz A, os valores de lambda que tornam det(A-lambda I)=0 são:
1) lambda=0 (multiplicidade 3).
2) lambda=1,,3,,-2.
3) lambda=2,,1,,4.
4) lambda=2,,4,,-1.

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