Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado apresenta a transformação linear definida por
O objetivo é encontrar seus autovalores e autovetores e verificar se é diagonalizável. Para isso vamos (i) obter a matriz de na base canônica, (ii) usar a triangularidade para achar os autovalores, (iii) resolver para os autovetores e (iv) comparar as multiplicidades geométrica e algébrica.
Passo 2
Para a base canônica temos
Logo a matriz de é
que é triangular (inferior) com entradas da diagonal principais todas iguais a 1.
Passo 3
Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal. Assim
lambda = 1
é o único autovalor, com multiplicidade algébrica 4.
Passo 4
Para achar o espaço próprio relativo a resolvemos
isto é
As equações impõem sem restrição em . Logo
de modo que os autovetores são todos múltiplos de e a multiplicidade geométrica é .
Passo 5
A multiplicidade geométrica (=1) é menor que a multiplicidade algébrica (=4), portanto T não é diagonalizável.
Resposta
O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 4). O espaço próprio é
ker(T - I) = (0,0,0,w) : w in R,
logo os autovetores são todos múltiplos de (0,0,0,1). Como a multiplicidade geométrica é 1 < 4, T não é diagonalizável.