Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas, e determine quais são diagonalizáveis.
T: R^4 R^4, T(x, y, z, w)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+w)

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear T:R^4toR^4 definida por
T(x,y,z,w) = (x,;x+y,;x+y+z,;x+y+z+w)
O objetivo é encontrar seus autovalores e autovetores e verificar se T é diagonalizável. Para isso vamos (i) obter a matriz de T na base canônica, (ii) usar a triangularidade para achar os autovalores, (iii) resolver (T-lambda I)v=0 para os autovetores e (iv) comparar as multiplicidades geométrica e algébrica.

Passo 2

Para a base canônica e1,e2,e3,e4 temos
T(e1) = (1,1,1,1), T(e2) = (0,1,1,1), T(e3) = (0,0,1,1), T(e4) = (0,0,0,1)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 ,
que é triangular (inferior) com entradas da diagonal principais todas iguais a 1.

Passo 3

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal. Assim
lambda = 1
é o único autovalor, com multiplicidade algébrica 4.

Passo 4

Para achar o espaço próprio relativo a resolvemos
isto é
As equações impõem
sem restrição em . Logo
de modo que os autovetores são todos múltiplos de e a multiplicidade geométrica é .

Passo 5

A multiplicidade geométrica ( =1) é menor que a multiplicidade algébrica ( =4), portanto T não é diagonalizável.

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (multiplicidade algébrica 4). O espaço próprio é
ker(T - I) = (0,0,0,w) : w in R,
logo os autovetores são todos múltiplos de (0,0,0,1). Como a multiplicidade geométrica é 1 < 4, T não é diagonalizável.

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