Para o sistema linear x1+3 x2 & =1 -2 x1-6 x2 & =0 3 x1+9 x2 & =1, determine:
(a) a solução de mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear sobredeterminado de
e pede a solução de mínimos quadrados. O método que vamos usar é o das equações normais, isto é, montar tais que e resolver

Passo 2

Formamos a matriz A e o vetor b:
A = 1 & 3 -2 & -6 3 & 9 , b = 101
Então calculamos
A^TA = 1 & -2 & 3 3 & -6 & 9 1 & 3 -2 & -6 3 & 9 = 14 & 42 42 &126 ,
A^Tb = 1 & -2 & 3 3 & -6 & 9 101 = 412

Passo 3

As equações normais são
Repare que a segunda linha é o triplo da primeira, e o segundo termo do vetor-lado direito também. Assim há uma única equação efetiva:

Passo 4

Portanto o conjunto de todas as soluções de mínimos quadrados é
l(x1,x2)inR^2mid x1+3x2=tfrac27r
Em forma paramétrica, tomando tinR:
x1=tfrac27-3t, x2=t

Resposta

A solução de mínimos quadrados é o conjunto
l(x1,x2)mid x1+3x2=tfrac27r,
ou, em forma paramétrica,
(x1,x2)=l(tfrac27-3t,;tr), tinR

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