Uma elipse possui eixo maior contido no eixo Oy , seu centro é igual à origem do plano cartesiano, e a distância do eixo menor é 12. Além disso, a distância entre os focos é de 20 unidades. Sendo assim, qual a distância focal dessa elipse?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma elipse cujo eixo maior está no eixo Oy (eixo vertical) e o centro está na origem do plano cartesiano. A distância do eixo menor é 12 unidades, e a distância entre os focos é de 20 unidades. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância focal dessa elipse. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria das elipses e algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “eixo maior” e “eixo menor”. Em uma elipse, o eixo maior é o segmento de reta mais longo que passa pelo centro e conecta dois pontos da elipse. Já o eixo menor é o segmento mais curto que também passa pelo centro, mas na direção perpendicular ao eixo maior.
Como o eixo maior está no Oy, isso significa que a elipse está mais esticada verticalmente. A distância do eixo menor sendo 12 unidades indica que o comprimento total do eixo menor é 12. Como o eixo menor é dividido ao meio pelo centro, cada metade mede 6 unidades.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da relação entre os parâmetros de uma elipse. A fórmula que conecta o raio maior (a), o raio menor (b) e a distância focal (c) é:
c^2 = a^2 - b^2
Onde:
  • a é a metade do eixo maior,
  • b é a metade do eixo menor,
  • c é a distância do centro até cada foco.

Passo 4

Sabemos que a distância entre os focos é 20 unidades. Isso significa que a distância do centro a um foco ( c ) é metade disso:
c = 202 = 10 unidades

Passo 5

Também sabemos que a metade do eixo menor (b) é 6 unidades. Agora, usando a fórmula que relaciona a , b e c , podemos encontrar o valor de a :
c^2 = a^2 - b^2 10^2 = a^2 - 6^2 100 = a^2 - 36 a^2 = 100 + 36 a^2 = 136 a = raiz136
No entanto, nosso foco aqui é a distância focal c , que já encontramos ser 10 unidades.

Resposta

A distância focal da elipse é 10 unidades.

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