Uma elipse possui eixo maior contido no eixo Oy , seu centro é igual à origem do plano cartesiano, e a distância do eixo menor é 12. Além disso, a distância entre os focos é de 20 unidades. Sendo assim, qual a distância focal dessa elipse?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma elipse cujo eixo maior está no eixo Oy (eixo vertical) e o centro está na origem do plano cartesiano. A distância do eixo menor é 12 unidades, e a distância entre os focos é de 20 unidades. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância focal dessa elipse. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria das elipses e algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “eixo maior” e “eixo menor”. Em uma elipse, o eixo maior é o segmento de reta mais longo que passa pelo centro e conecta dois pontos da elipse. Já o eixo menor é o segmento mais curto que também passa pelo centro, mas na direção perpendicular ao eixo maior.
Como o eixo maior está no Oy, isso significa que a elipse está mais esticada verticalmente. A distância do eixo menor sendo 12 unidades indica que o comprimento total do eixo menor é 12. Como o eixo menor é dividido ao meio pelo centro, cada metade mede 6 unidades.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da relação entre os parâmetros de uma elipse. A fórmula que conecta o raio maior (a), o raio menor (b) e a distância focal (c) é:
Onde:
-
é a metade do eixo maior, -
é a metade do eixo menor, -
é a distância do centro até cada foco.
Passo 4
Sabemos que a distância entre os focos é 20 unidades. Isso significa que a distância do centro a um foco (
) é metade disso:
Passo 5
Também sabemos que a metade do eixo menor (b) é 6 unidades. Agora, usando a fórmula que relaciona
,
e
, podemos encontrar o valor de
:
No entanto, nosso foco aqui é a distância focal
, que já encontramos ser 10 unidades.
Resposta
A distância focal da elipse é 10 unidades.