Considere o operador linear, definido por . Encontre:
imagem , uma base e a dimensão
Passo 1
O enunciado define um operador linear
por
Ele pede a imagem de , uma base dessa imagem e sua dimensão. Vamos usar que a imagem de é o subespaço gerado pelos vetores , onde são os vetores canônicos de .
Passo 2
Calcular as imagens dos vetores canônicos:
Passo 3
Logo
Passo 4
Agora verificamos dependência linear entre esses três vetores. Procuramos escalares
Isso leva ao sistema
Da segunda equação em ambas, ou seja . Há um grau de liberdade (), então existem não-triviais e revela que só dois vetores são necessários para gerar a imagem.
Passo 5
Bastam os dois primeiros vetores, que são linearmente independentes. Assim uma base da imagem é
(1,0,1),,(2,1,1),
e a dimensão é o número de vetores dessa base, ou seja 2.