Considere T: R^3 R^3 o operador linear, definido por T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z). Encontre:
imagem T, uma base e a dimensão

Passo 1

O enunciado define um operador linear
Tcolon R^3 to R^3
por
T(x,y,z) = (,x + 2y - z,; y + z,; x + y - 2z,)
Ele pede a imagem de T, uma base dessa imagem e sua dimensão. Vamos usar que a imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores T(e1),T(e2),T(e3), onde e1,e2,e3 são os vetores canônicos de R^3.

Passo 2

Calcular as imagens dos vetores canônicos:
T(e1)=T(1,0,0) = (,1+0-0,;0+0,;1+0-0,) = (1,0,1),
T(e2)=T(0,1,0) = (,0+2-0,;1+0,;0+1-0,) = (2,1,1),
T(e3)=T(0,0,1) = (,0+0-1,;0+1,;0+0-2,) = (-1,1,-2)

Passo 3

Logo

Passo 4

Agora verificamos dependência linear entre esses três vetores. Procuramos escalares
Isso leva ao sistema
Da segunda equação em ambas, ou seja . Há um grau de liberdade ( ), então existem não-triviais e revela que só dois vetores são necessários para gerar a imagem.

Passo 5

Bastam os dois primeiros vetores, que são linearmente independentes. Assim uma base da imagem é
(1,0,1),,(2,1,1),
e a dimensão é o número de vetores dessa base, ou seja 2.

Resposta

A imagem de é
uma base é e .

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