Sabendo que a diferença entre o comprimento do eixo maior e o seu eixo focal é igual a 4 e que o eixo menor mede 8 unidades, então o comprimento do maior eixo é igual a?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Sabemos que a diferença entre o comprimento do eixo maior e o eixo focal de uma elipse é igual a 4, e que o eixo menor mede 8 unidades. Queremos descobrir qual é o comprimento do maior eixo.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades das elipses, que envolvem relações entre os eixos maior e menor e os focos. Precisamos entender como essas medidas estão relacionadas matematicamente para encontrar o comprimento do eixo maior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são o eixo maior, o eixo menor e o eixo focal em uma elipse. O eixo maior é a linha mais longa que passa pela elipse e pelos dois focos. O eixo menor é a linha mais curta que passa pelo centro da elipse e é perpendicular ao eixo maior. A distância do centro até cada foco é chamada de eixo focal.

Passo 3

Na matemática, as elipses têm uma relação específica entre seus eixos e os focos, dada pela fórmula:
b^2 = a^2 - c^2
onde:
  • a é o semieixo maior (metade do eixo maior),
  • b é o semieixo menor (metade do eixo menor),
  • c é a distância do centro ao foco.

Passo 4

Do enunciado, sabemos que o eixo menor mede 8 unidades, então o semieixo menor b é:
b = 82 = 4
unidades.
Também sabemos que a diferença entre o comprimento do eixo maior 2a e o eixo focal 2c é igual a 4:
2a - 2c = 4
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
a - c = 2

Passo 5

Agora, temos duas equações:
  1. b^2 = a^2 - c^2
  2. a - c = 2
Vamos substituir c da segunda equação na primeira. Da segunda equação:
c = a - 2
Substituindo na primeira equação:
4^2 = a^2 - (a - 2)^2

Passo 6

Vamos resolver a equação:
16 = a^2 - (a^2 - 4a + 4)
16 = a^2 - a^2 + 4a - 4
16 = 4a - 4
16 + 4 = 4a
20 = 4a
a = 204
a = 5
unidades.

Passo 7

Como a é o semieixo maior, o comprimento do eixo maior é:
2a = 2 times 5 = 10
unidades.

Resposta

O comprimento do maior eixo é igual a 10 unidades.

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