Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2, onde T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y)

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (x+2y,,-x+4y)
O conteúdo é cálculo de autovalores e autovetores de uma matriz 2times2 e verificação de diagonalizabilidade. Para resolver, vamos: (i) escrever a matriz de T, (ii) achar o polinômio característico, (iii) extrair raízes (autovalores), (iv) obter os autovetores e (v) testar diagonalizabilidade.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 1 & 2 -1 & 4 ,
pois T(1,0)=(1,-1) e T(0,1)=(2,4).

Passo 3

O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det! 1-lambda & 2 -1 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) -(-1)cdot2
Explicando: multiplicamos os termos da diagonal principal e subtraímos o produto da outra diagonal, somando o 2 porque o termo era -1times2 com sinal trocado.

Passo 4

Desenvolvendo o determinante:
(1-lambda)(4-lambda) + 2 = 4 -5lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 -5lambda + 6
Logo as raízes são dadas por
lambda^2 -5lambda +6 = (lambda-2)(lambda-3)=0 Longrightarrow lambda1 = 2,;lambda2 = 3

Passo 5

Para , resolvemos
Isso dá a equação , ou seja . Um vetor não-nulo que gera esse espaço é, por exemplo,
então o autovetor associado a é qualquer múltiplo de .

Passo 6

Para , resolvemos
Isso dá , ou seja . Um autovetor conveniente é
portanto todo autovetor associado a é múltiplo de .

Passo 7

Como os dois autovalores 2 e 3 são distintos, seus autovetores v1 e v2 são linearmente independentes em R^2. Logo A (e portanto T) é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autovetores:
lambda1 = 2, com autovetores gerados por 21.
lambda2 = 3, com autovetores gerados por 11.
O operador é diagonalizável.

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