A partir das operaçōes não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto mathbbR^2 é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nāo são válidos.
Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(|x1+x2|,|y1+y2|) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(|c x1|,|c y1|), com c in R

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto R^2, equipado com
  • adição definida por
(x1,y1)+(x2,y2)=l(lvert x1+x2rvert,;lvert y1+y2rvertr),
  • multiplicação por escalar definida por
c,(x1,y1)=l(lvert c,x1rvert,;lvert c,y1rvertr), cinR,
é um espaço vetorial sobre R. Para isso, lembramos que precisamos checar dois grupos de axiomas:
1. (R^2,+) deve ser um grupo abeliano (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo).
2. A multiplicação por escalar deve satisfazer: fechamento, (ab)v=a(bv), 1,v=v, a(u+v)=au+av e (a+b)v=av+bv.

Passo 2

Verificamos a comutatividade da adição:
(x1,y1)+(x2,y2) =l(lvert x1+x2rvert,lvert y1+y2rvertr) =l(lvert x2+x1rvert,lvert y2+y1rvertr) =(x2,y2)+(x1,y1)
Logo, comutatividade vale.

Passo 3

Testamos a associatividade da adição. Tomemos três vetores (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).
l((x1,y1)+(x2,y2)r)+(x3,y3) =l(l|lvert x1+x2rvert + x3r|,;l|lvert y1+y2rvert + y3r|r),
(x1,y1)+l((x2,y2)+(x3,y3)r) =l(l|x1 + lvert x2+x3rvertr|,;l|y1 + lvert y2+y3rvertr|r)
Em geral
lvert,lvert x1+x2rvert + x3rvertneq lvert,x1 + lvert x2+x3rvertrvert.
Por exemplo, para x1=2,x2=-1,x3=-1 os dois lados não coincidem.
Portanto, associatividade da adição falha.

Passo 4

Procuramos o elemento neutro e=(e1,e2) tal que
l(lvert x+e1rvert,lvert y+e2rvertr)=(x,y) forall(x,y)
Isto exigiria lvert x+e1rvert=x para todo x, o que só ocorre se e1=0 e x>=0. Mas não funciona para x<0.
Logo, não existe elemento neutro.

Passo 5

Como não há neutro, não faz sentido falar em inverso aditivo para todos os vetores. Logo, o axioma de inverso aditivo também falha.

Passo 6

Verificamos a propriedade de identidade escalar:
1,(x,y)=l(lvert1cdot xrvert,lvert1cdot yrvertr)=(lvert xrvert,lvert yrvert),
que coincide com (x,y) só quando x,y>=0, mas não para vetores arbitrários.
Portanto, o axioma 1,v=v falha.

Passo 7

Distributividade da multiplicação em relação à soma de vetores:
cl((x1,y1)+(x2,y2)r) =l(lvert crvert,lvert x1+x2rvert,;lvert crvert,lvert y1+y2rvertr),
enquanto
c,(x1,y1)+c,(x2,y2) =l(l|lvert c,x1rvert+lvert c,x2rvertr|,;l|lvert c,y1rvert+lvert c,y2rvertr|r)
Em geral não são iguais (por exemplo, x1 e x2 de sinais opostos).
Logo, c(u+v)=cu+cv falha.

Passo 8

Distributividade em relação à soma de escalares:
(c1+c2)(x,y) =l(lvert c1+c2rvert,lvert xrvert,;lvert c1+c2rvert,lvert yrvertr),
c1(x,y)+c2(x,y) =l(lvert,lvert c1rvert x + lvert c2rvert xrvert,;lvert,lvert c1rvert y + lvert c2rvert yrvertr),
que também não coincidem em geral.
Portanto, (c1+c2)v=c1v+c2v falha.

Passo 9

A única propriedade de multiplicação por escalar que sobra é a associatividade
(c1c2)(x,y)=c1l(c2(x,y)r),
que, de fato, vale porque
lvert c1c2,xrvert=lvert c1rvert,lvert c2,xrvert.
Mas já temos falhas em diversos outros axiomas.

Resposta

R^2 com essas operações não é um espaço vetorial.
Os axiomas que deixam de valer são:
– associatividade da adição;
– existência de elemento neutro aditivo;
– existência de inverso aditivo;
– propriedade de identidade do escalar 1cdot v=v;
– distributividade c(u+v)=cu+cv;
– distributividade (c1+c2)v=c1v+c2v.

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