A partir das operaçōes não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nāo são válidos.
Adição: Multiplicação por um escalar:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto , equipado com
adição definida por
multiplicação por escalar definida por
é um espaço vetorial sobre . Para isso, lembramos que precisamos checar dois grupos de axiomas: . deve ser um grupo abeliano (fechamento, comutatividade, associatividade, elemento neutro, inverso aditivo). . A multiplicação por escalar deve satisfazer: fechamento, , , e .
Passo 2
Verificamos a comutatividade da adição:
Logo, comutatividade vale.
Passo 3
Testamos a associatividade da adição. Tomemos três vetores , , .
Em geral lvert,lvert x1+x2rvert + x3rvertneq lvert,x1 + lvert x2+x3rvertrvert.
Por exemplo, para x1=2,x2=-1,x3=-1 os dois lados não coincidem.
Portanto, associatividade da adiçãofalha.
c1(x,y)+c2(x,y) =l(lvert,lvert c1rvert x + lvert c2rvert xrvert,;lvert,lvert c1rvert y + lvert c2rvert yrvertr),
que também não coincidem em geral.
Portanto, (c1+c2)v=c1v+c2v falha.
Passo 9
A única propriedade de multiplicação por escalar que sobra é a associatividade (c1c2)(x,y)=c1l(c2(x,y)r),
que, de fato, vale porque lvert c1c2,xrvert=lvert c1rvert,lvert c2,xrvert.
Mas já temos falhas em diversos outros axiomas.
Resposta
R^2 com essas operações não é um espaço vetorial.
Os axiomas que deixam de valer são:
– associatividade da adição;
– existência de elemento neutro aditivo;
– existência de inverso aditivo;
– propriedade de identidade do escalar 1cdot v=v;
– distributividade c(u+v)=cu+cv;
– distributividade (c1+c2)v=c1v+c2v.