Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2, onde T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (2x+2y,;x+3y)
e pede os autovalores, os autovetores correspondentes e se o operador é diagonalizável. Vamos usar os conceitos de matriz na base canônica, polinômio característico det(A-lambda I)=0 e resolução de sistemas lineares para achar autovetores.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), a matriz de T é
A = 2 & 2 1 & 3

Passo 3

Para encontrar os autovalores resolvemos
det(A - lambda I) = det!2-lambda & 2 1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2 = lambda^2 -5lambda +4
A equação
lambda^2 -5lambda +4 = 0
tem raízes
lambda = 5pmraiz25 - 162 = 5pm32,
logo
lambda1 = 4, lambda2 = 1

Passo 4

Agora achamos os autovetores.
Para resolvemos , ou seja
da primeira linha vem . Um autovetor é
.
Para resolvemos , ou seja
da primeira linha . Um autovetor é
.

Passo 5

Como obtemos dois autovalores reais distintos e dois autovetores linearmente independentes, a matriz A (e portanto o operador T) é diagonalizável sobre R.

Resposta

Os autovalores são lambda1=4 e lambda2=1.
Autovetor associado a lambda1=4: múltiplos de 11.
Autovetor associado a lambda2=1: múltiplos de -21.
O operador T é diagonalizável.

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