Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis. , onde .
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear ,
e verificar se é diagonalizável. Para isso, vamos montar a matriz de na base canônica, obter o polinômio característico, achar as raízes e checar a existência de autovetores em .
Como i e -i não são reais, não há autovalores em R e, portanto, não existem autovetores reais em R^2. Logo, Tnão é diagonalizável sobre R.
Passo 4
Se estendermos o corpo para
que dá .
Para obtemos e autovetor .
Como temos dois autovetores independentes em , é diagonalizável sobre .
Resposta
Em R^2 não há autovalores nem autovetores reais e T não é diagonalizável.
Em C^2 os autovalores são lambda = i e lambda = -,i com autovetores v1 = (1,-i) e v2 = (1,i), e T é diagonalizável em C^2.