Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis.
T: R^2 R^2, onde T(x, y)=(-y, x).

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear
;Tcolon R^2toR^2,
T(x,y)=(-y,x),
e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos montar a matriz de T na base canônica, obter o polinômio característico, achar as raízes e checar a existência de autovetores em R^2.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, a matriz de T é
A = 0 & -1 1 & 0
O polinômio característico é
det(A - lambda I) =det -lambda & -1 1 & -lambda =lambda^2 + 1

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 + 1 = 0
obtemos os autovalores
lambda = i e lambda = -,i
Como i e -i não são reais, não há autovalores em R e, portanto, não existem autovetores reais em R^2. Logo, T não é diagonalizável sobre R.

Passo 4

Se estendermos o corpo para
que dá .
Para obtemos e autovetor
.
Como temos dois autovetores independentes em , é diagonalizável sobre .

Resposta

Em R^2 não há autovalores nem autovetores reais e T não é diagonalizável.
Em C^2 os autovalores são lambda = i e lambda = -,i com autovetores v1 = (1,-i) e v2 = (1,i), e T é diagonalizável em C^2.

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