Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis.
T: R^3 R^3 tal que [T]C a n=[ccc1 & 2 & -1 -2 & -3 & 1 2 & 2 & -2].

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: R^3to R^3 cuja matriz na base canônica é
A= 1 & 2 & -1 -2 & -3 & 1 2 & 2 & -2
O objetivo é achar os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0, depois os autovetores de cada valor próprio e, por fim, verificar se a soma das dimensões dos espaços próprios é 3 (diagonalizabilidade).

Passo 2

Formamos o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I). Escrevendo
A-lambda I = 1-lambda & 2 & -1 -2 & -3-lambda & 1 2 & 2 & -2-lambda ,
temos, após desenvolver a determinante por Laplace e simplificar,
chi(lambda)=lambda^3+4lambda^2+5lambda+2

Passo 3

Fatoramos o polinômio lambda^3+4lambda^2+5lambda+2. Testando raíz lambda=-1 vemos que é nula, e dividindo por lambda+1 obtemos
lambda^3+4lambda^2+5lambda+2=(lambda+1)(lambda^2+3lambda+2)=(lambda+1)^2(lambda+2)
Logo os autovalores são lambda1=-1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda2=-2 (multiplicidade 1).

Passo 4

Para resolvemos :
que reduz a e . Assim
dimensão 1.

Passo 5

Para resolvemos :
que impõe , ou seja . Logo
dimensão 2.

Passo 6

Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+2=3, igual à dimensão de R^3, o operador é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autovetores:
lambda=-2, v=(1,-1,1);
lambda=-1, v1=(1,0,2), v2=(0,1,2)
O operador é diagonalizável.

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