Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis. tal que .
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -2 & 3
Precisamos achar os autovalores, os autovetores correspondentes e verificar se T é diagonalizável.
Passo 2
Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico
Os autovalores são lambda1=1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2=2 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Para
Destas equações obtemos . Escolhendo surge o autovetor
Passo 5
Para
Dessas equações vem . Tomando obtemos
Passo 6
O autovalor lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1, menor que 2. Portanto não há base de R^3 formada por autovetores de T: T não é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2. Autovetores correspondentes são
v1=(-1,2,3)(lambda1=1), v2=(0,1,2)(lambda2=2)
Como a multiplicidade geométrica de lambda2 é 1 e a algébrica é 2, T não é diagonalizável.