Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas e, se possível, verifique se os operadores são diagonalizáveis.
T: R^3 R^3 tal que [T]C a n=[ccc2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -2 & 3].

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 2 & 2 & -1 1 & 0 & 1 2 & -2 & 3
Precisamos achar os autovalores, os autovetores correspondentes e verificar se T é diagonalizável.

Passo 2

Para encontrar os autovalores calculamos o polinômio característico
chi(lambda)=det(A - lambda I) =det 2-lambda & 2 & -1 1 & -lambda & 1 2 & -2 & 3-lambda
Fazendo a expansão por cofactores na primeira linha chega-se a
chi(lambda)=(2-lambda)l(lambda^2-3lambda+2r)

Passo 3

O fator lambda^2-3lambda+2 se escreve (lambda-1)(lambda-2). Logo
chi(lambda)=(2-lambda)(lambda-1)(lambda-2) =-(lambda-1)(lambda-2)^2
Os autovalores são
lambda1=1 (multiplicidade algébrica 1) e
lambda2=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Para
Destas equações obtemos . Escolhendo surge o autovetor

Passo 5

Para
Dessas equações vem . Tomando obtemos

Passo 6

O autovalor lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) é 1, menor que 2. Portanto não há base de R^3 formada por autovetores de T: T não é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2. Autovetores correspondentes são
v1=(-1,2,3)(lambda1=1), v2=(0,1,2)(lambda2=2)
Como a multiplicidade geométrica de lambda2 é 1 e a algébrica é 2, T não é diagonalizável.

Exercícios relacionados