Para quais valores de as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de a a matriz
M = 1 & a [-6pt] 0 & 1
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes em álgebra linear, e vamos usar os conceitos de valor próprio (autovalor), multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio).]
Passo 2
Como M é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo
lambda1 = 1, lambda2 = 1,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 2.
Passo 3
Precisamos ver a dimensão do espaço próprio para lambda=1. Calculamos
M - I = 1 & a [-3pt]0 & 1 - 1 & 0 [-3pt]0 & 1 = 0 & a [-3pt]0 & 0
Se a neq 0, então x2=0 e o espaço próprio tem dimensão 1 (vetores da forma (x1,0)). Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), M não é diagonalizável.
Se a = 0, então M = I e M-I=0, o que dá espaço próprio de dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica, logo M é diagonalizável (na verdade já é a matriz identidade).]
Passo 4
Concluímos que a única maneira de ter dimensão do espaço próprio igual à multiplicidade algébrica é quando a=0.