Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
[ll1 & a 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de a a matriz
M = 1 & a [-6pt] 0 & 1
é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes em álgebra linear, e vamos usar os conceitos de valor próprio (autovalor), multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio).]

Passo 2

Como M é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo
lambda1 = 1, lambda2 = 1,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 3

Precisamos ver a dimensão do espaço próprio para lambda=1. Calculamos
M - I = 1 & a [-3pt]0 & 1 - 1 & 0 [-3pt]0 & 1 = 0 & a [-3pt]0 & 0
Então, resolver (M - I)x = 0 equivale a
0 & a [-3pt]0 & 0 x1 [-3pt]x2 = 0 [-3pt]0 Long<=ftrightarrow a,x2 = 0
  • Se a neq 0, então x2=0 e o espaço próprio tem dimensão 1 (vetores da forma (x1,0)). Como a multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a algébrica ( 2), M não é diagonalizável.
  • Se a = 0, então M = I e M-I=0, o que dá espaço próprio de dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica, logo M é diagonalizável (na verdade já é a matriz identidade).]

Passo 4

Concluímos que a única maneira de ter dimensão do espaço próprio igual à multiplicidade algébrica é quando a=0.

Resposta

a=0

Exercícios relacionados