Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição:
Multiplicação por um escalar:
,
.
Adição:
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Para ser um espaço vetorial é preciso que
seja um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar satisfaça as leis de distributividade e associatividade apropriadas.
Passo 2
Verifiquemos se a adição é comutativa. Dados
e
, temos
Como
em
, a adição é de fato comutativa. A associatividade também se verifica por cálculo direto (agrupando três vetores e observando que os “
” somam-se duas vezes em cada ordem de associação), logo
é um semigrupo comutativo.
Passo 3
Tentemos encontrar o elemento neutro
tal que
Pela definição,
daí
,
,
. Ou seja,
Passo 4
Verifiquemos agora a distributividade de escalar sobre soma de vetores. Para
e vetores
,
:
Por outro lado,
Para serem iguais, precisaríamos
sempre, o que não vale para escalar genérico. Portanto a lei
falha.
Passo 5
Como falha a distributividade de escalar em relação à adição de vetores, não podemos ter todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
, pois a lei
não se verifica para escalar genérico .
não se verifica para escalar genérico