Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^3 a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c x1, c y1, c z1), com c in R.

Passo 1

O enunciado define em R^3 as operações
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) =(x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1),
ccdot(x1,y1,z1)=(c,x1,;c,y1,;c,z1), cinR
Para ser um espaço vetorial é preciso que (R^3,+) seja um grupo abeliano e que a multiplicação por escalar satisfaça as leis de distributividade e associatividade apropriadas.

Passo 2

Verifiquemos se a adição é comutativa. Dados
(x1,y1,z1) e (x2,y2,z2), temos
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) =(x1+x2+1,dots),
(x2,y2,z2)+(x1,y1,z1) =(x2+x1+1,dots)
Como x1+x2+1=x2+x1+1 em R, a adição é de fato comutativa. A associatividade também se verifica por cálculo direto (agrupando três vetores e observando que os “ +1” somam-se duas vezes em cada ordem de associação), logo (R^3,+) é um semigrupo comutativo.

Passo 3

Tentemos encontrar o elemento neutro 0V=(a,b,c) tal que
(x,y,z)+(a,b,c)=(x,y,z)forall,(x,y,z)
Pela definição,
(x+a+1,;y+b+1,;z+c+1)=(x,y,z),
daí a=-1, b=-1, c=-1. Ou seja,
0V =(-1,-1,-1)

Passo 4

Verifiquemos agora a distributividade de escalar sobre soma de vetores. Para cinR e vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2):
cl(u+vr) =c(x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1) =(c(x1+x2+1),dots)
=(c x1+c x2+c,;c y1+c y2+c,;c z1+c z2+c)
Por outro lado,
c u + c v =(c x1,c y1,c z1)+(c x2,c y2,c z2) =(c x1+c x2+1,;c y1+c y2+1,;c z1+c z2+1)
Para serem iguais, precisaríamos c=1 sempre, o que não vale para escalar genérico. Portanto a lei
c(u+v)=c u + c v
falha.

Passo 5

Como falha a distributividade de escalar em relação à adição de vetores, não podemos ter todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto R^3 com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre R, pois a lei
c(u+v)=cu+cv
não se verifica para escalar genérico c.

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