Ache os autovalores e os autovetores do operadore linear T do R^3 dado por T(e1)=(2,0,0), T(e2)=(2,1,2) e T(e3)=(3,2,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear Tcolon R^3toR^3 dado pelas imagens de e1,e2,e3. O conteúdo envolvido é cálculo do polinômio característico de uma matriz 3times3 e resolução de sistemas lineares (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Representamos T na base canônica por sua matriz cujas colunas são T(e1),T(e2),T(e3):
A = 2 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 2 & 1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I):
det(A-lambda I) =det 2-lambda & 2 & 3 0 & 1-lambda & 2 0 & 2 & 1-lambda =(2-lambda)l[(1-lambda)^2-4r]
Como
(1-lambda)^2-4=(-1-lambda)(3-lambda)=-(lambda+1)(3-lambda),
temos
det(A-lambda I)=-(2-lambda)(lambda+1)(3-lambda)
Logo os autovalores são
lambda=2, lambda=-1, lambda=3

Passo 4

Para cada [\lambda) resolvemos :
Caso :
do sistema
vem e livre. Tomando obtemos
Caso :
do sistema
vem . Escolhendo obtemos
Caso :
do sistema
vem . Tomando obtemos

Resposta

Os autovalores e vetores próprios (até escalares) são:
lambda=2, vetor próprio (1,0,0).
lambda=-1, vetor próprio (1,3,-3).
lambda=3, vetor próprio (5,1,1).

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