Considere T in L(R^2) tal que [T]B=(cc1 & 1 0 & 2), onde B=(1,-1) ;(0,1) é base do R^2. Ache os autovalores e os autovetores de T .

Passo 1

O enunciado dá um operador linear TcolonR^2toR^2 cuja matriz em relação à base
B=,v1=(1,-1),;v2=(0,1)
é
[T]B = 1 & 1[6pt]0 & 2
O que temos de fazer é (i) encontrar os autovalores de [T]B resolvendo o polinômio característico, (ii) achar para cada autovalor um vetor próprio em coordenadas na base B, e (iii) converter esse vetor para coordenadas canônicas usando a matriz de passagem cujas colunas são v1 e v2.]

Passo 2

Como [T]B é triangular, seus autovalores são simplesmente as entradas da diagonal. Mas vamos confirmar calculando o polinômio característico
detl([T]B - lambda Ir) =det1-lambda & 1[4pt]0 & 2-lambda =(1-lambda)(2-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2
]

Passo 3

Para resolvemos
Dessa equação vem , sem restrição em . Escolhemos , , ou seja, na base
Para converter ao sistema canônico usamos a matriz de passagem
cuja primeira coluna é e segunda é . Assim o autovetor em coordenadas canônicas é
]

Passo 4

Para resolvemos
Daí , isto é, . Tomamos , , ou seja,
Convertendo para as coordenadas canônicas:
]

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
lambda1=1 com autovetor v^(1)=(1,-1), e
lambda2=2 com autovetor v^(2)=(1,0).

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