Ache os autovalores e os autovetores dos operadores lineares do R^3 definidos pelas matrizes abaixo:
A=(ccc4 & 2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2)

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e os autovetores do operador em R^3 dado pela matriz
A = 4 & 2 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 2
O conteúdo principal aqui é encontrar as raízes do polinômio característico det(A - lambda I)=0 (autovalores) e, para cada lambda, resolver (A - lambda I)x=0 (autovetores).

Passo 2

Como A é bloco–triangular, podemos escrever
det(A - lambda I) = det 4-lambda & 2 -1 & 1-lambda cdot(2-lambda)
Calculemos o determinante do bloco 2times2:
det 4-lambda & 2 -1 & 1-lambda =(4-lambda)(1-lambda)-(-1)cdot2 =lambda^2-5lambda+6 =(lambda-2)(lambda-3)
Logo o polinômio característico é
p(lambda)=(lambda-2)(lambda-3)(2-lambda) =(lambda-3)(lambda-2)^2
Dessa forma os autovalores são
lambda1=3(mu<iplicidade algébrica 1), lambda2=2(mu<iplicidade algébrica 2) éé

Passo 3

Para resolvemos
As equações são
Da terceira vem . A primeira dá . Assim um autovetor associado a é

Passo 4

Para resolvemos
A equação não trivial é , ou seja . Não há restrição em . Logo o espaço próprio de é de dimensão 2 e gerado por, por exemplo,

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
bul<=t lambda=3, com espaço próprio unidimensional gerado por
-210
bul<=t lambda=2 (multiplicidade algébrica 2), com espaço próprio bidimensional gerado por
-110 e 001

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