Encontre os autovalores e autovetores dos operadores abaixo:
T(x, y)=(-x,-y) R: lambda=-1, v=(x, y)

Passo 1

No enunciado temos o operador linear T: R^2to R^2 definido por
T(x,y)=(-x,-y)
Precisamos encontrar todos os autovalores lambda e os autovetores não-nulos v tais que T(v)=lambda v.

Passo 2

Seja v=(x,y)neq(0,0). A condição de autovalor e autovetor
T(v)=lambda v
torna-se
(-x,-y)=(lambda x,lambda y)

Passo 3

Comparando coordenadas, obtemos o sistema
-x=lambda x, -y=lambda y
que pode ser reescrito como
(lambda+1)x=0, (lambda+1)y=0

Passo 4

Para existir solução não-trivial (x,y)neq(0,0), é necessário lambda+1=0. Logo,
lambda=-1
é o único autovalor possível.

Passo 5

Substituindo lambda=-1 na igualdade T(x,y)=lambda(x,y), vemos que
(-x,-y)=(-1)(x,y)
é satisfeita para todo (x,y). Assim, todo vetor não-nulo de R^2 é autovetor associado a lambda=-1.

Resposta

O único autovalor é lambda=-1 e o espaço próprio correspondente é
E-1=(x,y)in R^2mid (x,y)neq(0,0),
isto é, todos os vetores não-nulos de R^2.

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